电机驱动系统是电动汽车的核心部件之一,由驱动电机、功率变换器和控制器组成[1-2]。驱动电机的绕组在计算分析中可视为电阻和电感的组合,绕组通电时,励磁电压发生变化,绕组中电流变化的过程为积分过程[3],为了保持绕组输出电流稳定,无超调或振荡,最常用的是PID电流控制器。PID控制器具有可靠性高、鲁棒性强、控制算法简单等优点[4-5]。与硬件实现相比,PID控制器的软件实现具有成本较低和控制算法灵活的优点,其中PID控制器的参数整定是控制系统软件设计的核心,因此研究PID控制器的参数整定方法具有重要的意义[6]。
常规的PID参数整定方法有Ziegler-Nichols法[7]、Cohen-Coon法[8]和反应曲线衰减法[9]等,这些方法提出较早并已发展成熟,但不适用复杂的非线性控制系统。现有的PID参数整定方法主要有模糊PID控制[10]、智能算法PID控制[11-12]以及分数阶PID控制[13]。文献[10]将模糊PID算法用于燃料电池电动车电机控制器,将踏板位置和制动信息作为模糊控制输入来整定PID控制器参数,电机的控制精度和动态性能得到了提高。文献[11]提出了一种基于RBF神经网络的参数自整定PID航向控制方法,缩短了PID控制器的响应时间,提高了航向控制的精度。文献[12]从选择和交叉两个步骤上对遗传算法进行了改进,提高了算法运行速度,并应用于有刷直流电机的PID控制器参数的整定上,缩短了响应的上升时间和稳定时间。文献[13]提出了一种基于MFA-PSO算法的分数阶PID控制器来降低无刷直流电机的转矩波动。
通过对现有的文献分析可知,目前较少文献考虑延迟时间对PID参数整定的影响,但在实际的电机驱动系统中,测量系统和传感器总是会导致时间延迟或相位延迟[14],进而影响控制的精度。同时对于一些非线性、被控对象参数变化范围较大的控制系统,如开关磁阻电机控制系统,其电感具有高度的非线性,电感数值变化范围达10倍以上,现有的PID参数整定方法无法对其达到良好的控制效果。
本文针对现有的PID参数整定方法未考虑控制系统的延迟时间,不适用于被控对象参数变化范围大的积分控制系统,并且很少考虑微分滤波器系数的整定问题,提出一种适用于时滞积分系统的自适应动态PID控制器参数整定方法,考虑了积分系统的电压、被控对象的取值、延迟时间等参数的影响,使得PID控制器的参数与积分系统的控制对象之间的关系更加明确,在延迟时间或被控对象参数发生变化时,可以快速准确地计算出PID控制器参数的数值。在Simulink中模拟了10倍变化的非线性系统,实现了快速、无振荡、无超调的控制效果,并在实际的PWM控制电路中验证了该方法应用的可行性。
1 PID控制器参数整定
1.1 考虑延时的PID控制器参数整定
电机的绕组可视为电阻和电感的组合,一个纯电感电路与一个RL电路相比,有更大的相位角,这意味着RL电路比纯电感电路更加稳定。因此,本文以纯电感的电流为研究对象,来研究时滞积分系统PID控制器的参数整定方法。在纯电感电路中,控制对象的时间常数τ=L/U,其中L为电感的数值,U为施加于电感的直流电压,控制对象的开环传递函数可表示如下:
整个PID控制器的系统框图如图1所示,其对应的传递函数如式(2)所示。
图1 时滞积分系统的PID控制器系统框图
Fig.1 Block diagram of a PID controller system for a time lag integral system
其中Kp为比例系数,Ki为积分系数,Kd为微分系数,DELAY为系统延迟时间,用td表示。
时滞积分系统的延迟时间通常由传感器、滤波器和电力电子器件导致,传感器导致的延迟时间可以查阅其数据手册获得,滤波器导致的延迟时间可以用滤波器的时间常数来等效,电力电子器件导致的延迟时间由器件类型决定,将每一部分的延迟相加便为控制系统的延迟时间。
为了得到PID参数与控制系统和延迟时间的关系,假设时间常数τ=0.001,延迟时间td=0.000 4 s,通过手动调参对PID控制器的参数进行整定,使得电感电流响应迅速并且无超调,可得PID控制器的参数为Kp=1.4,Ki=17.66,Kd=0.000 165,电流的阶跃响应如图2所示。
图2 时滞积分系统在PID控制器下对应的阶跃响应
Fig.2 Step response of a time-lag integral system under a PID controller
由图2可以看出,使用所获得的PID控制器的参数,响应时间保持在2.5 ms以内,并且电流响应没有超调。在时间常数τ=0.001不变的情况下,改变延迟时间t的数值,使其在0.4 ms到4 s之间变化,并且使用手动调参对PID控制器的参数进行整定,使得电感电流响应速度迅速并且无超调,所获得的PID控制器的参数如表1所示。
表1 不同的延迟时间对应的PID控制器参数
Table 1 PID controller parameters for different delay times
延迟时间/sKpKiKdτ=L/U0.000 41.4017.661.65×10-40.0010.0040.1380.1771.71×10-40.0010.040.013 51.75×10-31.66×10-40.0010.41.37×10-31.77×10-51.68×10-40.00141.4×10-41.76×10-71.67×10-40.001
从表1中可以看出,在时间常数恒定的情况下,Kp的数值与延迟时间成反比关系,Ki的数值与延迟时间的平方成反比关系,Kd与延迟时间无关。
在延迟时间td=0.000 4不变的情况下,改变时间常数τ的数值,并且使用手动调参对PID控制器的参数进行整定,所获得的参数数值如表2所示。
表2 不同的时间常数对应的PID控制器参数
Table 2 PID controller parameters corresponding to different time constants
延迟时间/sKpKiKdτ=L/U0.000 44.2153.204.95×10-40.0030.000 47.0288.668.30×10-40.0050.000 49.83124.131.18×10-30.0070.000 412.64159.591.51×10-30.0090.000 415.45195.051.85×10-30.011
从表2可以看出,在延迟时间恒定的情况下,Kp、Ki和Kd的数值与时间常数成正比关系。
根据表1和表2的分析,可以得到Kp、Ki和Kd的计算公式如下所示:
Kd=cτ.
(5)
式中:a、b、c是常数。式(3)-式(5)可以作为PID控制器参数整定的通用公式,通过使用表3和表4中的数据,a、b和c可计算为
表3 不同延迟时间下对应的微分滤波器数值
Table 3 Corresponding differential filter values for different delay times
延迟时间/sKpKiKdKnτ=L/U0.000 41.4017.661.65×10-416 5000.0010.0040.1380.1771.71×10-41 6500.0010.040.013 51.78×10-31.66×10-41650.0010.41.37×10-31.77×10-51.68×10-416.50.00141.4×10-41.76×10-71.67×10-41.650.001
表4 不同时间常数下对应的微分滤波器数值
Table 4 Corresponding differential filter values for different time constants
延迟时间/sKpKiKdKnτ=L/U0.000 44.2153.204.98×10-416 5000.0030.000 47.0288.668.50×10-416 5000.0050.000 49.83124.131.18×10-316 5000.0070.000 412.64159.591.51×10-316 5000.0090.000 415.45195.051.86×10-316 5000.011
所以可以得出时滞积分系统PID控制器参数整定公式为:
Kd=0.17τ.
(9)
式(7)-式(9)适用于任何时间常数τ和延迟时间td,根据控制系统的时间常数和延迟时间,PID控制器的参数可以直接计算出,得到的参数可使电感电流的响应时间迅速并且没有超调量。
1.2 微分滤波器系数的整定
尽管微分作用可以对偏差产生超前控制,显著改善控制的性能,但在实际情况中很少采用直接的微分作用。主要因为微分作用对噪声非常敏感,过强的微分作用,对系统抗干扰不利,并且在实际电路中无法通过电路元件实现纯微分环节[15-16],所以通常在微分项中加入一个低通滤波器,组成微分滤波器,这样就可以用来限制高频噪声和增益,同时保证了在实际电路中的可行性,加入微分滤波器后的PID控制器系统框图如图3所示。
图3 时滞积分系统PID控制器(含微分滤波器)系统框图
Fig.3 Block diagram of a time lag integral system PID controller (with differential filter) system
加入微分滤波器后,控制系统对应的传递函数如下所示:
式中:Kn为微分滤波器系数,现有的PID参数整定方法很少解决微分滤波器系数的整定问题,大多数仅依靠操作员的经验和计算出的PID控制器的参数,在没有可靠的理论计算方法的情况下,将微分滤波器应用到实际中是非常复杂的,所以本文将推导出微分滤波器系数Kn的整定公式。
假设延迟时间td=0.000 4 s,时间常数τ=0.001,根据式(7)-式(9),PID控制器的参数可整定为:
在Kp、Ki、Kd的基础上整定参数Kn,取Kn的数值较小为100,可以得到控制系统的阶跃响应如图4所示。
图4Kn=100时,时滞积分系统在PID控制器下
(含微分滤波器)对应的阶跃响应
Fig.4 Step response of a time-lag integral system under a PID controller (with differential filter) forKn=100
从图4中可以看出,当Kn=100时,相比于无低通滤波器PID控制器的控制效果,阶跃响应出现超调,超调量达0.1 A,这证明Kn对微分作用的超前作用产生了影响。
当Kn的值被设定的尽可能大时,低通滤波器的滤波速度越快,滤波效果越小,Kn对PID控制器的超前作用影响越小。因此,可以设定Kn=105,对应的阶跃响应,如图5所示。
图5Kn=105时,时滞积分系统在PID控制器下
(含微分滤波器)对应的阶跃响应
Fig.5 Step response corresponding to a time-lag integral system under a PID controller (with differential filter) atKn=105
从图5中可以看出,当Kn的数值较大时,可以消除超调量。但是,在阶跃响应的上升期间,出现了波形的振荡。这意味着较大的Kn使得微分项更加敏感,降低了PID控制器的鲁棒性。
通过手动调参对微分滤波器的系数进行整定,当Kn=16 500时,阶跃响应迅速,并且没有超调和振荡,满足控制系统的要求,如图6所示。
图6Kn=16 500时,时滞积分系统在PID控制器下
(含微分滤波器)对应的阶跃响应
Fig.6 Step response of a time-lag integral system under a PID controller (with differential filter) forKn=16 500
为了得到微分滤波器系数和PID控制器系数之间的关系,当Kn=16 500时,对PID控制器的波特图进行分析,如图7所示。
图7Kn=16 500时,PID控制器(含微分滤波器)的波特图
Fig.7 Baud diagram of PID controller (with differential filter) atKn=16 500
由图7中的相频特性可得,相角大于-180°,由奈奎斯特判据可得控制系统稳定[17];从幅频特性中可以看出,PID控制器转角频率对应幅值为微分滤波器转角频率对应幅值的1/3.根据这个关系,可以得到以下方程:
AR(ω)=20ln(|GPID(jω)|) .
(13)
AR(ω=τi)=AR(ω=ωd) .
(14)
AR(ω=Kn)=3AR(ω=τd) .
(15)
式中:
转角频率对应的幅值可以在幅频特性曲线中确定,根据上面的方程可以得到微分滤波器系数与PID控制器系数的关系如下所示:
由式(16)可得,Kn的值与Kp和Kd的比值有关,在整定微分滤波器系数时,当Kp和Kd的值已知时,可直接计算出Kn的值。但在一些情况下,PID控制器的系数并不知道,所以有必要推导出微分滤波器系数的整定公式。
由于PID控制器的参数总是基于控制系统的时间常数和延迟时间来整定,所以对于不同的时间常数和延迟时间,可以获得不同的Kn值。在时间常数τ=0.001不变的情况下,改变延迟时间td的数值,可以得到如表3所示的微分滤波器数值;在延迟时间td=0.000 4 s不变的情况下,改变时间常数τ的数值,可以得到如表4所示的微分滤波器数值。
从表3和表4中,可以看出Kn的数值只与延迟时间td有关,与控制系统的时间常数τ无关。根据Kn与延迟时间的关系,可以得出Kn的整定公式如下所示:
根据式(17),Kn的数值可以根据延迟时间直接计算得出。当控制器作用于高频域时,由于微分控制可以用作相位超前控制,因此总是会产生高频噪声。通过使用微分滤波器,可以有效地降低高频噪声。Kn的整定公式也适用于开关磁阻电机控制系统,在延迟时间已知的情况下,可以快速有效地整定Kn的数值。
至此,推导出了PID控制器及微分滤波器系数的整定公式,由整定公式可知,对于具有固定延迟时间和固定电感的积分系统,PID控制器及微分滤波器系数是固定的。然而对于一些时滞积分系统,以开关磁阻电机驱动系统为例,其绕组电感随励磁电流(i)和转子位置角(θ)的变化发生非线性变化,此时时间常数τ(i,θ)=L/U也非线性变化。所以将τ(i,θ)代入整定公式,便可得到随时间常数自适应动态变化的PID控制器参数,便可对电感电流进行动态控制,整定公式如式(18)-式(21)所示。对于其他的时滞积分系统,比如电容储能系统、水位调节系统,也可采用同样的方法获得PID控制器与控制对象时间常数和延迟时间之间的关系,本文以电感电流时滞积分系统为例进行说明。
Kd=0.17τ(i,θ) .
(20)
式(18)-式(21)适用于不同类型的开关磁阻电机,式中励磁电流(i)和转子位置角(θ)是转子旋转过程中时间t的函数,所以时间常数τ(i,θ)也可转换为时间的函数τ(t).
2 电感大幅度变化下PID控制仿真
由于开关磁阻电机的电感为非线性变化,并且变化幅度很大,最小电感和最大电感相差10倍以上,如果采用恒定的PID参数,整定效果较差。而本文所提出的自适应动态PID控制器参数整定方法,在电感非线性变化时,PID参数自适应发生变化,可以实现对电感电流的动态控制,相比于恒定的PID参数,有更好的控制效果,下面在MATLAB/Simulink软件中进行模拟仿真验证。
本文将不对称半桥功率变换器驱动下的开关磁阻电机中的绕组电感,随转子位置和绕组电流的变化曲线近似为正弦波形,正弦变化的电感可以反映开关磁阻电机的非线性特性,以此来验证本文所提出整定方法的有效性。仿真的框图如图8所示。
图8 非线性变化电感对应的PID控制器系统框图
Fig.8 Block diagram of the PID controller system corresponding to a non-linearly varying inductor
在图8中,τ(t)=L(t)/U,其中U为电感电压数值,设定为1 V,L(t)是频率为12.5 Hz,随时间正弦变化的电感函数,用来模拟开关磁阻电机非线性变化的电感波形,其最小值为1 mH,最大值为10 mH,以反映较大的电感变化。DELAY为延迟时间,此处设定为0.000 4 s.输入电流为幅值1 A,频率50 Hz的矩形波,用来观察在PID控制下,非线性电感对应的电流输出响应。例如,用最低电感1 mH对应的PID控制器参数来对电流进行控制,则Kp=1.40,Ki=17.73,Kd=1.70×10-4,Kn=16 500,控制效果如图9所示。
图9 最低电感对应的PID控制器参数的控制效果
Fig.9 Control effect of the PID controller parameters corresponding to the lowest inductance
从图9中可以看出,在低电感时,响应迅速且稳定,并且没有超调,但在电感数值较大时,输出电流无法随输入电流的变化而变化,响应变得非常迟钝。若采用大于1 mH电感对应的PID控制器参数对电流进行控制,当实际电感小于1 mH时,电感电流将会出现失调。所以采用恒定的PID控制器参数,对电感电流的控制效果并不理想。
基于式(18)-式(21)对PID控制器的参数进行整定,使得PID控制器的参数随着电感的变化自适应改变,实现对电感电流的动态控制,控制效果如图10所示。
图10 采用自适应动态PID控制器参数整定方法对应的控制效果
Fig.10 Control effect corresponding to the parameter adjustment method with an adaptive dynamic PID controller
从图10中可以看出,采用本文提出的PID控制器参数整定方法对电感电流进行控制,响应时间迅速,并且没有超调和振荡,满足控制系统的基本要求。因此,本文提出的自适应动态PID控制器参数整定方法可以很好地应用于被控对象非线性变化的系统中。
3 实验验证
为了测试控制方法的有效性,本文采用Microchip公司的Explorer 16 开发板和L298N全桥驱动器来控制电感电流,将自适应动态PID控制器参数整定方法应用到PWM控制系统中,如图11所示。
图11 电感电流的控制电路
Fig.11 Control circuits for inductive currents
设定直流电源电压U=10 V,电感值为0.01 L,PWM的频率为2 kHz,延迟时间td=0.000 5 s则时间常数τ=L/U=0.001,计算出的PID控制器的参数为Kp=1.12,Ki=11.35,Kd=0.000 17,Kn=13 200,在10 ms时加入扰动,所获得的阶跃响应如图12所示。
图12 电感电流对应的阶跃响应
Fig.12 Step response corresponding to inductive current
由图12可以看出,系统的响应时间控制在0.01 s以内,并且没有超调和振荡,电流波形较好。结果表明,该PID控制器参数整定方法同样适用于实际电路,能够满足控制系统的基本要求,并且PID控制器的参数可以通过计算快速准确地得到。
4 结论
本文提出一种适用于时滞积分系统的自适应动态PID控制器参数整定方法,考虑了积分系统的电压、被控对象的取值、延迟时间等参数的影响,使得PID控制器的参数与积分系统的控制对象之间的关系更加明确。在Simulink中模拟了被控参数10倍变化的非线性系统,利用提出的整定方法实现了对非线性系统的动态控制,与恒定的PID参数控制效果进行对比,证明了该方法对非线性、参数变化范围大的控制系统有更好的控制效果,本文同时在实际的PWM控制系统实验平台中对该方法进行验证,实验结果表明本文提出的自适应动态PID控制器参数整定方法可以快速准确地得到适用于时滞积分系统的PID控制器参数。
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