以浮放方式置于基础平台之上的物体称为浮放物体[1],物体与基础平台间无典型、有效的机械连接。地震是影响传统建筑存续的关键因素之一[2]。在水平地震作用下,浮放物体或保持静止,或被触发摇摆、滑移、摇摆-滑移耦合等运动[3]。柱体是建筑结构核心受力构件之一,柱体在地震作用下的稳定性直接决定了传统建筑的整体稳定性,准确地预测其在外荷载作用下的响应是科学保护传统建筑的前提[4],因而开展水平地震作用下浮放柱体动态响应研究是传统建筑状态评估与修缮保护的必要环节。
近年来与浮放柱体力学特性有关的研究已广泛开展。WANG et al[5]考虑柱顶荷载的影响对柱脚节点的受力性能进行了研究,通过理论分析阐释了木柱摇摆机理和柱脚受力状态,建立了柱脚节点的解析模型。姚侃等[6]提出了柱与础石摩擦滑移临界条件,建立了柱脚隔振体系模型。MAEDA et al[7]基于对日本木结构古建筑的木柱摇摆特性理论分析指出,木柱的刚度和强度增加并不会减小地震作用下其位移的响应。
针对浮放物体动力学特性的体系化研究已持续逾半个世纪。HOUSNER[8]将浮放物体简化为刚性二维块体模型,应用牛顿第二定律推导了分段微分方程以描述浮放物体摇摆动态响应,被学界普遍认为是现代推动浮放物体动力特性分析研究进程的重要节点。SHENTON et al[9]通过解析形式研究了水平激励下浮放物体的多种运动形式。TANIGUCHI[10]经推证得出,低频长持时地震会增加浮放物体发生大滑移与倾覆的风险。KOUNADIS[11]对浮放物体的稳定性进行了研究,在假设块体与基础间无滑移的基础上分析了正弦激励地震作用下的不同倾覆模式。杨维国等[12]将浮放物体简化为木制块体,利用振动台试验与数值模拟相结合的方法,揭示了宽高比越大试件越稳定,同时阐明宽高比的变化对浮放物体的滑移量无影响,但摇摆角随宽高比的增大而减小。
上述研究揭示了柱体摇摆、滑移等动态响应特征,为相关研究提供了必要支撑。但分析所涉动态响应的选取、分析目标的确立大多基于概念分析,缺乏定量的科学判断。而相关的试验研究也仅对试验现象进行了定性归纳,未能系统阐释不同类型动态响应的特征和临界条件。此外,尽管上述研究中大都考虑了柱顶荷载,但均忽略了荷载偏心的可能性。为此,本文系统分析了存在柱顶构件偏心情况的浮放柱体在水平地震作用下的动态响应,阐明了不同动态响应的触发临界条件,揭示了柱体的动态响应特征。
1 基本假定与简化模型
部分传统建筑的柱体以浮放方式竖立于基础之上,不设置典型、有效的机械连接,以国外石质传统建筑与国内木构古建筑最具代表性,如图1所示。此类建筑的柱体既可在基础平台上滑动,也可自由抬升、摇摆,形成滑动铰支座节点。梁柱节点间缝隙[13]在传统建筑中常见,这使得节点在承受荷载之前处于松散状态,导致柱体在承受荷载之初不受节点约束。石梁、木梁与斗栱等柱顶构件作为传力单元,将上部结构自重传递至柱体,致使柱顶构件与柱体顶部接触面间产生极大的摩擦力阻碍柱顶构件滑动。由于结构布局、建造误差、尺寸不规等因素导致柱顶构件常偏心布置,即柱顶构件的质心与柱体质心连线不与地面垂直是普遍存在的。
图1 典型浮放传统建筑
Fig.1 Typical free standing traditional buildings
石质构件由于刚度较大,难于在震后发生塑性破坏。而木构传统建筑在经历强震后尽管存在一定程度的位形改变,但木构件大都无明显塑性变形,更鲜有构件坏损出现[14]。因而针对其稳定问题分析时可忽略构件变形问题。水平地震作用下柱体滑移属于平动,摇摆属于转动轴周期性变换的定轴转动。由屋盖、梁构件等组成的上部结构的刚度极大且质量远大于柱体自重,这使得柱体摇摆时上部结构始终与地面平行,且柱顶构件与柱头之间的相对滑移极小[15]。
基于所述浮放传统建筑结构特点及动力响应特征,当不考虑结构平面外位形变化时,对柱体动态响应分析做出如下基本假定:1) 分析模型由柱体、基础、柱顶构件三部分组成,建筑上部结构的全部自重集中于柱顶构件并由其传递至柱体;2) 全部构件均为二维匀质刚体;3) 忽略柱顶构件底面与柱头间相对滑移;4) 柱脚抬升时,柱顶构件始终与地面保持平行。
取最具代表性的偏心情况作为分析对象,即柱顶构件一段偏移歪闪出柱顶范围之外,另一端位于柱顶面之内,简化后的分析模型如图2(a)所示。当柱脚分别向负向、正向抬升时,受柱顶构件偏心情况影响,柱顶构件的支点分别为图2(b)、图2(c)中的点N、M.图中其他符号的含义如下:η(η>0)为上部结构质量与柱体质量比;βL、βR分别为点N、M与柱脚点L、R的连线同竖直方向的夹角;dL、dR分别为点N、M与柱脚点L、R连线的距离;γL、γR分别为柱顶构件重心投影与柱脚点L、R的连线同竖直方向的夹角。此外,lL、lR分别代表柱顶构件质心与柱脚点L、R连线的距离。定义柱顶构件质心相对于柱顶中点的偏移率为e,则
图2 柱体分析模型
Fig.2 Analysis model of the column
e=b/rsinα.
(1)
式中:r为柱重心与柱脚点(点L或R)连线的距离;α为上述连线与竖直方向的夹角;b(|b|≤rsinα)为柱顶构件偏移量,即柱顶构件重心点B与柱顶部中心点A在水平方向的距离,当点B在点A左侧(向X轴负方向偏移动)时b为负,此时-1≤e≤0;当点B在点A右侧(向X轴正方向偏移动)时b为正,此时0<e≤1.
2 动态响应判定与控制方程
在水平地震作用下,柱体可以被触发的动态响应包括原位静止、抬升、滑移和滑移-抬升4种。下面分别对其受力状态展开分析,并得到不同动态响应的判定条件。
2.1 静止状态
令作用于地面的水平地震作用加速度为
且假设其初始方向与X轴正方向相同。柱体受过质心的重力mg、惯性力
柱顶构件自重ηmg、惯性力
柱底面中心的支反力FN及与柱体位形变化趋势相反的静摩擦力fs,受力状态如图3(a)所示。
图3 柱体静止及滑移状态受力分析图
Fig.3 Force analysis of stationary and slip
令柱体柱脚抬升产生虚位移δθ,则由虚功原理可得
化简得
式中
lLsinγL=(1+e)rsinα.
(4)
lLcosγL=2rcosα.
(5)
将式(4)、(5)代入式(3)可得柱体抬升的临界水平加速度
由水平和竖直方向柱体力的平衡条件∑FX=0、∑FY=0可得
式中:fs为静摩擦力,FN为支持力,且fs满足
fs≤fs,max=μs(1+η)mg.
(8)
式中:fs,max为摩擦力,μs为静摩擦系数。综合式(6)、(8)可得柱体静止的临界条件为
式(9)中,右侧因式(1+η+ηe)/(1+2η)取值与偏心率e(-1≤e≤1)有关而与荷载比η无关,故该因式取值范围为
传统建筑中,木柱、石柱的高径比大都居于7～10之间[16-17],即满足关系
0.10≤tanα≈α≤0.15 .
(12)
则式(9)右侧满足范围
综合石、木两类传统建筑石基与木柱、石基与石柱间的静摩擦系数,μs应满足[6,18]
0.4≤μs≤0.8 .
(14)
则式(10)右侧满足范围
0.4g≤μsg≤0.8g.
(15)
对比式(13)、(15)可得
gtanα<μsg.
(16)
恒成立。故若柱体不抬升则一定静止,即柱体静止临界条件唯一,如式(9)所示。
同理,若水平地震加速度的初始方向与X轴负方向相同,则柱体静止的临界条件式(9)变形为
2.2 滑移状态
当水平地震作用产生的惯性力增加到超过柱脚接触面最大静摩擦力但不导致柱体抬升时柱体发生滑移。滑移柱体动态响应如图3(b)所示,图中u为滑移距离。
由式(10)可知,柱体发生滑移临界条件为
结合柱体不被触发抬升的临界条件式(9)可得柱体滑移临界条件为
由式(16)可知,式(19)恒不成立,
的初始方向与X轴负方向相同时亦然。故只滑移不抬升状态恒不可能发生。
由达朗贝尔原理,当柱体受荷向左侧滑动时相当于受到向右的惯性力,根据其在水平方向力的平衡关系即可得到柱体此时的动态响应方程
式中:μk为动摩擦系数。
2.3 抬升状态
令水平地震加速度的初始方向与X轴正方向相同,柱体被触发抬升但其所受惯性力不超过柱脚接触面的最大静摩擦力,抬升柱体动态响应如图4(a)所示,图中θ为柱脚抬升角度。在柱体抬升过程中,柱顶构件与柱头的接触方式由线接触转换为点接触,接触点为柱顶构件底角N点。
图4 与抬升相关的状态受力分析图
Fig.4 Analysis model of the column associated with uplift
由式(6)可得柱体抬升临界条件为
结合柱体不发生滑移的临界条件式(10)可得柱体仅抬升不滑移的临界条件为
柱脚抬升后柱体开始摇摆,有唯一自由度,系统部分有势力,其动态响应控制方程可由拉格朗日方程求得
式中:Lag为拉格朗日量,Q为广义力,Lag=T-V,其中T为动能,V为势能。其中动能
式中:J为柱体绕柱脚点L或R在平面内转动的转动惯量。
J=4mr2/3 .
(25)
xB、yB分别为柱顶构件在水平、竖直方向的位移:
xB=dL[sinβL-sin(βL+θ)] .
(26)
yB=dL[cos(βL+θ)-cosβL] .
(27)
则其在水平、竖直方向的位移
分别为
将式(25)、(28)和(29)代入式(24)可得柱体及柱顶构件动能为
势能为
V=mgr[cos(α+θ)-cosα]+
ηmgdL[cos(βL+θ)-cosβL] .
(31)
广义力为
式中:W是水平地震作用下在位移增量为δθ时柱体和柱顶质点的虚功。将式(30)-(32)代入式(23)可得柱体摇摆控制方程
考虑式(12)柱体几何尺寸因素可将式(33)化简为
相似地,若水平地震加速度的初始方向与X轴负方向相同,则柱体被触发抬升的临界条件变为
化简后的摇摆响应控制方程为
2.4 滑移-抬升状态
当滑移、抬升2种动态响应耦合时,根据其发生的先后顺序可分为3种不同情况:先滑移后抬升、先抬升后滑移、滑移与抬升同步发生。但由式(16)可知,滑移先于抬升的动态响应恒不能发生,故仅对后2种情况予以分析。
2.4.1先抬升后滑移
若水平地震加速度的初始方向与X轴正方向相同,且当水平地震作用产生的惯性力增加到导致柱体抬升时柱体开始抬升,随水平地震作用持续增加至惯性力增加到超过柱脚接触面最大静摩擦力,柱体开始滑移,并在此后保持抬升与滑移2种响应叠加。柱体的动态响应如图4(c)所示。
柱体抬升临界条件同式(21).对柱体即将滑移的瞬间进行受力分析,由平衡条件∑FX<0、∑FY=0可得
化简可得抬升后滑移的临界条件为
类似地,若水平地震加速度的初始方向与X轴负方向相同,则柱体发生先抬升后滑移的临界条件为
2.4.2滑移与抬升同步发生
由式(16)可知,若柱体滑移发生则一定耦合抬升发生,则滑移与抬升同步发生的临界条件即为柱体滑移的临界条件,如式(18)所示。柱体的动态响应如图4(c)所示。
滑移-抬升响应耦合时柱体有平动、转动2个自由度。令当柱体抬升角度θ时滑移位移为u,系统仍为部分有势力,其动态响应方程可由拉格朗日方程求得
式中:qi(i=1,2)为广义坐标θ和u.柱体与柱顶构件的动能为
势能同式(31)一致。虚功为
式中的滑动摩擦力fk满足
式(44)中,滑动摩擦力fk是柱体抬升角度θ的因变量。为简化,在计算滑动摩擦力时可不考虑由于柱体抬升导致的竖直方向的荷载变化,而以等效摩擦系数μkE替代μk(μkE<μk)[19],则简化后的滑动摩擦力为
fk=μkE(1+η)mg.
(45)
将式(31)、(42)、(43)、(45)代入式(41)可得到柱体摇摆、滑移时的控制方程分别为
grsin(α+θ)-ηgdLsin(βL+θ)=
(46)
同前所述,考虑柱体几何特征可将上述控制方程简化为
同理,若地震作用的初始方向与X轴负方向相同,则柱体摇摆、滑移的控制方程分别为
3 初始动态响应影响因素分析
不失一般性地,取水平地震加速度初始方向与X轴正方向相同的情况予以分析,则柱体可以被触发的响应临界条件分别为:静止(见式(9));抬升(见式(22));滑移及抬升滑移同步发生(见式(18))。比较各临界条件可得,柱体初始动态响应判定涉及基础平台顶面与柱体底面间静摩擦系数μs、柱体长细比倒数tanα、上部结构与柱体自重比值η及其偏心率e共4个参数。在不同动态响应判定条件中,η的增减不显著影响动态响应判定结果是显而易见的,仅需对μs、tanα和e3个参数进行分析。由于中国木构传统建筑存世量大,上部结构的自重更易量化,故本节中η的取值以相关研究[20,21]为基础,依据上部结构自重的概率分布情况取中值η=76[19].
式(18)表明,滑移临界加速度与静摩擦系数μs成线性关系。依μs的取值范围,在其取值范围内可绘制如图5(a)所示的
曲线。当加速度值取值于临界值曲线上方区域时,柱体将发生滑移伴随摇摆响应。
图5 滑移及抬升临界水平加速度
Fig.5 Critical horizontal accelerations of slip and uplift
抬升响应临界条件中,水平加速度是柱体长细比tanα及柱顶构件偏心率e的二元函数。由于α、e的取值范围较小,在0.10≤α≤0.15、-1.0≤e≤1.0范围内分别生成α及e的随机数500个即可覆盖α及e绝大部分取值的可能。将α、e、η代入式(6)可得抬升临界水平加速度,利用插值法绘制3维曲面如图5(b)所示。曲面之下的水平加速度不能触发柱体响应,柱体保持静止;曲面之上的水平加速度引起柱体摇摆,直至水平加速度突破图5(a)滑移临界曲线后,滑移将同步被触发。
对比图5(a)、5(b)可知,浮放柱体最易被触发的响应是抬升,随即进入摇摆运动状态,即摇摆是柱体最主要的运动形式。由图5(b)可见,随e从-1至1逐渐增大,柱顶构件质心逐渐远离柱脚转动轴L点,激发柱体抬升所需力矩增大;当α从0.10逐渐增大至0.15时,柱体体型由细长发展至短粗,自身稳定性增强,柱脚抬升所需的水平加速度同样增大。由图5(b)对比长细比-水平加速度、偏心率-水平加速度可知,后者的斜率大于前者,即抬升临界水平加速度对柱顶构件偏心率更敏感。
4 摇摆响应求解
大量的地震波都包含长持时的脉冲作用,因而研究结构在正弦激励下的响应有助于掌握结构的动力学特性[22]。本节选取柱体在水平激励下最容易被触发的摇摆响应进行分析,求解其在正弦激励下的摇摆运动方程。作用于柱体的正弦激励为一个完整周期,形如
其中,t(t≥0)为自变量时间,ap、ωp、ψ分别是激励的幅值、频率和初相。若激励开始作用于大地的瞬间(t=0)恰好可以引起柱脚抬升,则由式(21)、(34)可得
将式(52)代入式(33)、(36),可得柱体摇摆角度为
θ(t)=C1sinh(λLPt)+C2cosh(λLPt)+
θ(t)<0 .
(56)
θ(t)=C3sinh(λRPt)+Crcosh(λRPt)+
θ(t)>0 .
(57)
其中,Ci(i=1,2,3,4)为积分常数,P是一个表征柱体动力性能的参数,单位为rad/s;λL、λR为柱体几何和物理特征参数。上述参数表达式分别为
对式(56)、(57)求导可得柱体摇摆角速度
对式(61)、(62)求导可得柱体摇摆角加速度
柱体初始为静止状态,在激励开始作用的瞬间抬升角度、角速度均为0,即t=0时满足θ(0)=0与
成立,分别代入式(56)、(57)、(61)、(62)可求得积分常数
综上,柱体的摇摆角度、角速度、角加速度等运动特征受柱体几何特征、柱顶构件质量与其偏心程度共同影响。
5 结论
基于浮放传统建筑结构特征将柱体与柱顶构件简化为2维匀质刚体,考虑柱顶构件的偏心情况,研究了柱体在水平地震作用下的动态响应,得到如下结论:
1) 水平地震作用下,柱体可以被触发的动态响应为静止、抬升、先抬升后滑移及抬升滑移叠加,不可能发生的响应为无抬升仅滑移或先滑移后抬升。
2) 决定柱体动态响应类型的因素包含基础平面与柱体底面间静摩擦系数、柱体长细比、柱顶构件偏心率。
3) 水平地震作用可触发的各类柱体动态响应中,抬升最容易被触发,柱体继而进入以摇摆为主的运动。
4) 相较于柱体长细比,柱顶构件偏心率的改变能更显著影响柱体抬升响应的触发条件。
5) 柱体摇摆运动状态受柱体几何特征、柱顶构件质量与其偏心程度共同影响。
6) 考虑柱顶构件及其偏心情况的柱体动态响应研究是传统建筑预防性保护的基础,可为传统建筑状态评估提供理论支撑。
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