环境保护是全世界共同关注的问题，各个国家积极为节能减排出力[1-2]。在当今环境保护和能源转型的大背景下，新能源汽车成为汽车界的新秀[3]。作为电动汽车的重要部件，锂离子动力电池的技术水平直接关乎电动汽车的发展。动力电池的生产工艺复杂，电池种类多样。以圆柱形动力电池为例，卷芯是由多层薄膜材料卷绕而成，卷绕时会产生张力，张力大小不当时会造成弯折、褶皱甚至断裂[4-5]等问题，这些缺陷加大了电池的安全风险[6-7]。TAO et al[8]利用实验和模拟的方法研究了圆柱形锂离子电池制备过程中集流体环向应变的分布演化，并解释了集流体绕在卷芯上时环向应变突然增加的机理，以及集流体环向应变演化对其断裂失效的影响。LU et al[9]发现活性材料表面层中的压缩应力阻碍了锂的嵌入，并产生了电压迟滞现象。电池的卷绕张力也影响电池的热导率，张晋等[10]利用数值模拟研究了卷绕张力等对卷绕结构有效热导率的影响，发现卷绕结构的有效热导率随着卷绕张力的增加逐渐增大。
电池卷芯的隔膜、负极片、隔膜和正极片均为薄层材料，可以类比作薄膜。与电池卷芯的卷绕研究相比，薄膜卷绕方面的研究更多一些。LEE et al[11]提出了卷绕过程中锥形张力的数学模型，分析验证了卷绕过程中的滑移与卷绕材料的横向性能之间的相关性，证实了线性锥形张力曲线对减少缠绕初始阶段的伸缩缺陷非常有效。LEE et al[12]在伯恩斯模型的基础上，建立了一种考虑卷绕材料的密度、弯曲应力和残余应力的径向应力模型，发现径向应力随着材料密度的增大及弯曲应力的降低而增大，卷绕材料的弹性模量的增加也减小了径向应力。随后，LEE et al[13]开发了一种基于模型的锥形张力曲线，可以显著减小卷绕内芯中的径向应力，并通过急剧降低卷绕张力，大大减小了残余应力和最大径向应力。LEE et al[14]提出了一种改进的锥度卷绕张力来改进卷材出现折皱的缺陷，建立了卷绕张力的数学模型，进行了实验验证。为防止卷材的突出和滑移，HIROMU[15]提出了改善卷绕内应力的卷绕张力优化方法，并且得到了不同卷绕条件下的卷绕张力。ZHANG et al[16]提出了一种适合大卷装带材收卷过程的张力优化设计方法，达到令人满意的收卷效果。LEE[17]建立了卷绕材料卷绕的内部应力场预测模型，采用二维轴对称有限元模型，研究了卷芯的应力随宽度的变化规律，发现卷芯的径向、环向、横向应力和剪切应力沿径向和横向都可能发生变化，并分析了径向应力和环向应力随卷绕层数的变化情况。CHEN et al[18]对柔性电子的收卷过程进行分析，提出4种常规收卷内应力建模方法，讨论了实际收卷过程中运动参数、物理参数、环境参数、输送结构对收卷内应力的影响，最后提出了柔性电子卷到卷制造系统中收卷内应力还需进一步研究的关键问题。范飞[19]对玻纤布卷的卷绕过程进行力学分析，得到不同卷绕张力下的布面张力规律，并对收卷稳定性进行讨论，得到布卷内部布面张力、层间压力的变化规律和影响因素及不同卷绕张力下的卷装效果和影响因素。利用现有材料和传统卷绕技术很难精确控制微纳米结构下具有卷绕界面的多绕组微管，MORADI et al[20]引入干轧方法来解决这一挑战，并在紧凑和高度对称的圆柱形微观结构中创建了紧凑的绕组。杨娅君等[21]对薄膜材料进行卷绕，通过控制张力的方式对圆筒进行卷绕，分析了不同卷绕张力的优缺点。
卷绕是锂离子电池制造过程中的关键工艺，卷绕过程中产生的应力无论对动力电池的安全还是寿命都起着很重要的作用。已有的文献对电池卷绕的研究则非常少，若电池卷绕技术进一步优化改进，需要更多理论研究来支持。
本文主要研究的是圆柱形动力电池卷绕过程中产生的应力，并在此基础上分析不同卷绕张力对电池内部应力的影响。本文首先分析了传统的恒卷绕张力和锥度卷绕张力对卷芯环向应力及卷芯本身所产生的作用和影响，然后首次提出了更适合用于大直径卷绕成品的抛物线型卷绕张力和复合型卷绕张力模型。
1 几何模型
首先建立电池单体的几何模型，对于电池中使用到的材料参数进行确定。
圆柱形电池的卷芯是由隔膜、负极片、隔膜和正极片层叠和缠绕而成，这4层均可以看作是薄层复合材料。将卷芯的每一层(包括正负极材料)假设为宏观各向同性材料，可以取其中代表性单元来进行分析。代表性单元既能小到足以表示各组成部分，又能大到足以代表卷芯，因此取卷芯的基本组成(隔膜-负极-隔膜-正极)作为代表性单元。图1给出了卷绕示意图和代表性单元。采用柱坐标系，轴向为z轴，长度为1，不考虑边缘效应，所以可作为平面应变问题研究。
图1 卷绕示意图和代表性单元
Fig.1 Diagram of winding and representative volume element
圆柱形锂离子动力电池的卷绕过程，是卷绕材料从钢芯开始卷绕到完成。常见型号的电池见表1.由于厂家生产工艺水平和方式的差异，尺寸允许一定的误差存在，约±0.02 mm.本文中，常见型号电池的钢芯直径设定一致，外包钢壳材料相同，只是卷绕完成后的卷芯直径不同，电池的卷芯内径用R0表示，卷芯外径用Rn表示，卷绕圈数用n表示。卷芯部分的材料均为4层，叠层顺序是隔膜-负极-隔膜-正极，为了方便计算，4层同时卷绕，把4层看成一个绕组整体，绕组中[22]，隔膜厚度h1=0.018 mm，负极厚度为h2=0.165 mm，正极厚度为h3=0.159 mm，绕组厚度t=2h1+h2+h3.
表1 常见圆柱形锂离子动力电池型号
Table 1 Common cylindrical lithium-ion power battery models
型号直径/mm高度/mm特点18650电池1865拥有非常高的能量密度,性价比较好21700电池2170单体比能量较高,重量更轻26650电池2665拥有优秀的容量及高一致性等特点32650电池3265能量密度高,自放电率低,充放电性能稳定,电压高46800电池4680成本更低,能量密度更大、充放电功率上限更高
各型号电池计算所用卷芯内径、外径数据见表2，且Rn=R0+n·t.
表2 圆柱形锂离子动力电池的卷绕参数
Table 2 Winding parameters of cylindrical lithium-ion power battery
电池型号卷绕圈数n/圈卷绕内径/mm卷绕外径/mm18650电池182.58.9821700电池222.510.4226650电池292.512.9432650电池372.515.8246800电池572.523.02
2 力学模型
圆筒形卷装结构内部的张力分布直接影响卷芯材料的卷装质量。卷芯内部材料单位横截面上的张力即内部材料的张力分布[23]。如图1所示，卷绕过程中卷芯上任意一点M处的应力σθ随着卷绕即时外半径R的增大而变化，且σθ随M点的位置不同而改变，所以应力σθ既是即时外半径R的函数，又是M所处位置半径r的函数，即σθ=σθ(r，R).同样应变也既是即时外半径R的函数，又是r的函数。εr(r,R)，εθ(r,R)分别表示位于半径r处的点M在即时外半径为R时的径向应变和环向应变。
举例说明，对于18650型和21700型电池来说，卷绕完成时，卷芯卷绕外半径Rn分别为8.98 mm和10.42 mm，且r≤R≤Rn.
2.1 卷芯本构方程
平面应力和平面应变下的本构方程可以通过弹性模量E和泊松比ν的变换来互相推导，其中平面应变下的应力-应变关系式就是把平面应力下的应力-应变关系式中的E转换为
转换为
为了方便计算卷绕过程，下面先求解平面应力状态下的环向应力，随后转换为平面应变状态下的环向应力。
首先，平面应力状态下，卷芯本构方程为：
(1)
忽略体积力，其内部静力平衡方程[24]为：
(2)
几何方程为：
(3)
由方程(1)-(3)可以得到平面应力状态下的应变分量、应力分量和位移分量，如式(4)-式(6)所示：
(4)
(5)
u=rεθ.
(6)
其中，待定系数C1和C2可以由边界条件确定。
由式(5)和式(6)得出：
(6′)
2.2 边界条件
假设卷芯的绕组横截面积为s，卷芯绕组的径向厚度为t，轴向长度为h，则有s=t·h.设卷绕第i圈时，外半径为Ri，卷绕张力为T(Ri)，则卷绕截面的拉应力为
卷绕第i圈时作用于r=Ri-t处的均匀压应力p是由卷绕截面的拉应力σ0(Ri)产生的，
另外R=R0处无位移。由于卷芯材料卷绕绕组的厚度t极小，因此可令
由此卷绕完i圈时的边界条件为：
u|r=R0=0，σr|r=Ri=-p.
所以，由式(4)和式(6＇)可得
解得
(7)
把式(7)代入式(4)可得
接着，将上式中的ν转换为
转换为
则得平面应变状态下的环向应力分布函数如下：
(8)
其中，R0≤r<Ri.
同理可得
(9)
将
代入式(8)和式(9)，则有
以上两式分别为平面应变状态下在外半径Ri处的卷绕张力T(Ri)对卷筒内r处(r<Ri)的环向应力分布函数和径向应力分布函数。
2.3 卷绕完成后卷芯内的环向应力和径向应力
卷芯材料卷绕绕组的厚度为t，卷绕i圈后外径为Ri，取卷芯内半径为r处的某一点，假设这一点处于卷绕的第i圈，即Ri-1≤r<Ri；卷绕n圈后，卷芯内任意r处的环向应力，等于r处的卷绕拉应力加上Ri，Ri+1，…，Rn多圈卷绕张力T(Ri)对r处的环向应力分布函数之和，即
由于卷芯材料卷绕绕组的厚度t极小，所以以上函数之和可以用积分来代替，即
(10)
其中，
为卷绕截面Ri处的拉应力。
同样，卷芯内任意r处的径向应力亦可得：
(11)
2.4 卷绕后卷芯内的应变和位移
平面应变下有
将式(10)和式(11)代入其中，有如下结果：
(12)
(13)
(14)
3 卷芯内的应力和位移
由于电池卷芯的尺寸不同，适合用来卷绕的张力不同，接下来对卷绕张力的不同类型进行讨论。
3.1 恒卷绕张力
若卷绕张力T(Ri)为恒卷绕力，即σ0(Ri)为常数，则式(10)可简化如下：
σθ(r,Rn)=σ0(r)·
显而易见，σθ(r,Rn)|r=Rn=σ0(Rn).其中，R0≤r≤Rn.
由于
显然，
恒成立，所以卷芯内任意一点r处的环向应力σθ将随着卷绕外半径Rn的增大而减小[25]。
下面进行算例分析，表3给出了计算中用到的参数[22，26，27]。
表3 圆柱形锂离子动力电池卷芯组分材料属性
Table 3 Material properties of jellyroll component of cylindrical lithium-ion power battery
卷芯组分弹性模量E泊松比ν隔膜E1=262.2MPaν1=0.3负极E2=5372MPaν2=0.3正极E3=2940MPaν3=0.3卷芯面内Ep=500MPaνp=0.15春芯轴向Et=1500MPaνpt=0.1,νtp=0.3
把卷芯看作横观各向同性材料，其中
对卷芯环向应力解析式中的σ0(r)的取值，由于其在恒卷绕张力作用下保持不变，所以定义σ0(r)=σ0，σ0为初始卷绕张应力，取值通常由卷芯生产过程中尝试得到。
采用恒张力卷绕时环向应力与卷绕半径的关系曲线，如图2所示，由图可以看出随着卷绕半径的增加，卷芯内某一点处环向应力不断减小，甚至会出现负值，即处于松弛状态，这种状态很容易引起内层薄膜材料起皱，影响卷装质量。所以在卷芯外半径很大的情况下，不适宜采用恒卷绕张力的卷绕方式。
另外，由图2还可以看出卷芯内部环向应力与初始卷绕张应力比值小于1，因此卷芯的平均环向应力小于初始卷绕张应力。
图2 恒卷绕张力作用时不同卷绕外径下卷芯的环向应力
Fig.2 Hoop stress of jellyroll at different winding external radius under constant winding tension
卷芯径向应力和位移的分析如下。若卷绕张力T(Ri)为恒卷绕力，即σ0(Ri)为常数，对径向应力和位移解析式进行转换，式(11)和式(14)可变为如下关系式：
图3和图4分别为恒卷绕张力作用时不同卷绕外径下卷芯的径向应力和位移曲线。在恒张力卷绕下，随着卷绕半径的增加，卷芯的径向应力为压应力且逐渐减小；卷芯内任一点处的径向应力随着卷绕外径的增大而增大。而卷芯的位移随着卷绕半径的增加不是单调变化，呈现先增加后减小的趋势，并且随着卷绕外径的增大而增大。
图3 恒卷绕张力作用时不同卷绕外径下卷芯的径向应力
Fig.3 Radial stress of jellyroll at different winding external radius under constant winding tension
图4 恒卷绕张力作用时不同卷绕外径下卷芯的位移
Fig.4 Displacement of jellyroll at different winding external radius under constant winding tension
在图3和图4卷芯的径向应力和位移变化趋势图中无法确定此种卷绕张力对于卷芯的卷绕是否合适，因此接下来只对卷芯的环向应力进行分析。
3.2 锥度卷绕张力
锥度卷绕张力指的是施加于卷芯材料上的卷绕张力随卷绕外半径的逐步增大而线性地减小。最初始的卷绕张应力设定常数值为σ0，则锥度卷绕张力可表示为
其中α为锥度系数，表示卷绕张力减小的程度。
把卷绕张力表达式代入式(10)可解得：
接下来对卷芯进行算例分析。
图5是锥度卷绕张力作用下外径尺寸为23.02 mm卷芯的环向应力曲线，由图可以看到，随着锥度系数α的增加，产生折皱的可能性越小，而α越小，环向应力变化趋势越接近于恒卷绕张力下的变化趋势。
图5 锥度卷绕张力下卷芯的环向应力
Fig.5 Hoop stress of jellyroll under taper winding tension
3.3 抛物线型卷绕张力
抛物线型卷绕张力指的是施加于卷芯材料上的卷绕张力随卷芯卷绕外半径的逐步增大而抛物线式地不断减小，最初始的卷绕张应力设定常数值为σ0，则抛物线型卷绕张力的表达式可表示为：
其中，β为抛物线式系数，表示卷绕张力减小的程度。
把卷绕张力表达式代入式(10)可解得：
σθ(r,Rn)=σ0·
接下来对卷芯进行算例分析。
图6所示为抛物线型卷绕张力作用下，外径尺寸为23.02 mm卷芯的环向应力，可以看出，随着抛物线系数β的增加，环向应力最小值不断增加，产生折皱的可能性不断减小，适用于卷绕外径极大的卷芯。
图6 抛物线型卷绕张力下卷芯的环向应力
Fig.6 Hoop stress of jellyroll under parabolic winding tension
抛物线型卷绕张力为正，即
对于卷芯外径尺寸为23.02 mm的情况，可得β≤0.011 79，再加上抛物线系数本身意义可得0<β≤0.011 79.
从图6中可以看出三种不同取值β下的曲线有同一个交点，这个交点横坐标处前后环向应力变化趋势发生改变，而这一点即是σθ(r,Rn)对β求导所得的极值点。式(15)给出σθ(r,Rn)对β求导的关系式。令
得到r=13.116 1 mm，因此r<13.116 1 mm时，随着β的增大环向应力不断增加，r>13.116 1 mm时，随着β的增大环向应力不断减小。
(15)
式(16)给出σθ(r,Rn)对r求导的关系式。令β=0可得最小极值点约为r=4.540 5 mm，β=0.011 79可得最小极值点约为r=4.294 1 mm，所以环向应力最小值在半径为4.294 1 mm≤r≤4.540 5 mm范围内。很明显，r=4.540 5 mm时环向应力最小值为负，而β的作用就是把环向应力最小值提高到非负值。β=0.007 42时，环向应力最小值约为0，对应的r=4.398 9 mm.所以为了保证卷绕后不出现折皱，需满足0.007 42≤β≤0.011 79.在此取值范围内，卷芯外径尺寸为23.02 mm的情况下，抛物线型卷绕张力能满足电池卷绕不产生折皱且符合实际情况的要求。
(16)
3.4 复合型卷绕张力
复合型卷绕张力是表达式中锥度系数α和抛物线式系数β协调存在的卷绕张力，最初始的卷绕张应力设定常数值为σ0，则复合型卷绕张力的表达式可表示为：
(17)
其中，α和β同时协调卷绕张力的减小程度。
首先设定α>0，β>0.把卷绕张力表达式代入式(10)可解得：
σθ(r,Rn)=σ0·
(18)
接下来以卷芯外径尺寸为23.02 mm的卷芯为例进行计算。
首先，抛物线型卷绕张力为正，即
由此可以得出：
(19)
对于卷芯外径尺寸为23.02 mm情形，有
2.5 mm≤r≤23.02 mm .
换而言之，有
若保证上述卷绕张力的条件能够满足，则：
(20)
对上述关系式只需要满足
即可，经推导可以得到
若
则α=0 .
若
则
综上，为保证卷绕张力为正，则需满足如下条件：
若β=0.011 79，则α=0.显然，β=0.011 79，α=0属于上一小节抛物线型卷绕张力的情形。
若β<0.011 79，则
即可满足卷绕张力为正。
图7所示为β<0.011 79，卷芯外径尺寸为23.02 mm情况下，采用复合型张力进行卷绕时环向应力与初始卷绕张力的比值。通过图7(a)-(c)的对比可以看出，随着抛物线系数β的减小，要不断地增加锥度系数α的取值，才能使卷芯的卷绕完成度更好。β的值相同时，随着α取值的增加，环向应力极值点不断增加，同时卷芯越不容易产生折皱；如图7(d)所示，α的值相同时，随着β取值的增加，该种卷绕类型越不适用于卷绕外径大的卷芯。需要说明的是图7中部分环向应力曲线在靠近外半径处为负，是因为α取值不满足式(22)的要求。
图7β<0.011 79时，复合型卷绕张力下卷芯的环向应力
Fig.7 Hoop stress of jellyroll under compound winding tension atβ<0.011 79
而对于β>0.011 79的情况，图8给出了几组不同α和β取值下的曲线。由此可以看出，当β>0.011 79时，β的值越大，卷芯内靠近卷绕外径处的环向应力越容易出现负值；β的值相同时，α的取值越大，这种卷绕类型越不适用于卷绕外径极大的卷芯。这是因为β的值决定了复合型卷绕张力的卷绕类型，而α的值在抛物线型卷绕张力的基础上加速了卷绕张力减小的程度，从而使得卷芯能够卷绕的外径尺寸不断减小。所以β>0.011 79的情况无法达到通过改变卷绕类型的方式来改善卷芯卷绕的目的。
图8β>0.011 79时，复合型卷绕张力下卷芯的环向应力
Fig.8 Hoop stress of jellyroll under compound winding tension atβ>0.011 79
从图7和图8可以看到，无论α的值相同还是β的值相同，复合型卷绕张力下卷芯环向应力变化趋势图都会有一个交点，这个交点的含义同抛物线型卷绕张力下卷芯环向应力变化趋势图中的交点一样，交点所在的半径处前后环向应力变化趋势发生改变，位于交点半径处内侧的任意位置，卷芯的环向应力随着β(或α)的增大而不断增大，而位于交点半径处外侧的任意位置，环向应力随着β(或α)的增大不断减小。
4 结论
电池卷绕过程会在卷芯内部产生应力，这会持续影响电池服役过程中的安全与寿命。前人工作中对电池卷绕工作研究较少，本文研究发现传统恒卷绕张力和锥度卷绕张力方法适用范围有限，首次提出了抛物线型卷绕方式和复合型卷绕方式，大大提高了动力电池卷绕方法的适用范围。具体发现如下：
1) 恒卷绕张力工况下，对于同一卷绕半径，环向应力随着卷芯半径的增加先减小后增加。但随着卷绕半径的持续增加，卷芯内某一点处环向应力不断减小，甚至会出现负值，即处于松弛状态，这种状态很容易引起卷芯材料起皱，影响卷装质量和电池的安全和使用寿命。恒张力的卷绕方式不适合卷绕半径比较大的情况。
2) 锥度卷绕张力作用下，随着锥度系数α的增加，产生折皱的可能性越小，而α越小，环向应力变化趋势越接近于恒卷绕张力下的变化趋势。但为了保证卷绕张力为正，α取值受限，对适用的卷绕外径增加有限。
3) 抛物线型卷绕张力工况下，随着抛物线系数β的增加，环向应力最小值不断增大，且环向应力变化趋势是先减小随后增长再减小，这种卷绕方法适合卷绕外径较大的卷芯。
4) 采用复合型卷绕张力进行卷绕时，随着抛物线系数β的减小，要不断地增加锥度系数α的取值，才能使卷芯的卷绕完成度更好。β相同时，随着α的增加，环向应力最小值不断增加，同时卷芯越不容易产生折皱；α相同时，随着β的增加，环向应力最小值不断增大。复合型卷绕方式可以分别退化到锥度卷绕方式和抛物线型卷绕方式，因此既适用于较小卷绕半径，也适用于较大卷绕半径。
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