随着机械、电子计算机技术、机器人控制、航空航天、武器等领域的发展，对相关核心零部件的性能要求越来越高。而高性能核心零部件的制造关键是需要着力突破普适的表面完整性制造技术[1]。滚磨光整加工是一种重要的加工工艺，可以提高机械零件表面完整性来提高零件性能，具有广泛的应用前景[2]。据业内不完全统计，一半多的高性能精密零件适合采用滚磨光整加工工艺来提高零件表面完整性综合指标[3]。烧结型滚抛磨块全球范围内年消耗量在2亿t左右，是滚磨光整加工过程中用量最大的一种加工介质。滚抛磨块作为滚磨光整加工的一种磨具，会影响整个滚磨光整工艺，间接影响相关仪器设备的精密性，其烧结型滚抛磨块中磨料的粒度和滚抛磨块的硬度跟整个烧结过程息息相关。
滚抛磨块的烧结是滚抛磨块生产的关键一环，对滚抛磨块的品质具有重要影响。滚抛磨块的烧结过程是一个存在时滞和噪声的复杂工艺过程，滚抛磨块在烧结过程中炉内存在复杂的物化反应，难以建立有效的烧结过程模型[4]，因此，可以通过引入MPC的方法来克服建立模型过程中所受到的影响，进而提高炉温控制精度。目前，对滚抛磨块烧结过程的炉温建模研究较少，相关研究多数是以高炉炼铁为对象，近期已有相关研究开始探索将高炉冶炼过程的炉温建模方法应用到滚抛磨块烧结的炉温建模中[5-6]，所建立模型往往不够精确。此外，烧结过程存在各种噪声等，所得到的数据会引入误差[7-10]，因此所建立的烧结炉模型和实际的模型会存在一定差异。这就需要控制器具有抗干扰性，以保证系统有较强的鲁棒性。
由于实际烧结炉控制对象具有大惯性、非线性、时变性、强干扰性等特性，传统PID是线性控制器很难满足要求。MPC[11-14]是由工业过程的特点与需求出发的背景下应运而生，其采用向前滚动式的优化，能通过当前信息数据和历史信息数据求解优化得到控制量，具有很强的抗扰动能力；文献[15]首先将非最小状态空间(NMSS)在PIP中应用，此后NMSS广泛应用于各领域。文献[16]使用NMSS模型设计的MPC控制器，提出了NMSSMPC算法，验证了控制器对系统的非线性和扰动性具有鲁棒性。文献[17]提出了带有可调因子的NMSSPC算法，可以加速系统的响应，并且有较好的跟踪参考轨迹能力；利用反馈校正减少了模型不匹配所产生的影响，增强系统的鲁棒性。
同时，滚抛磨块烧结过程[18-19]的影响因素众多，这些随机变化的因素会给烧结过程带来过程噪声；此外，因烧结过程是在密闭状态下进行的，导致系统的很多输入输出参数不能直接测量，许多采集到的数据含有观测噪声。因此，需要为此设计一种控制器，可以将得到的数据先进行滤波处理，得到原数据，使控制器在存在噪声的情况下仍能较准确地控制整个烧结过程。美国数学家卡尔曼最早在文献中提出了卡尔曼滤波算法[20-21]，并成功应用于“阿波罗号”飞船的轨迹预测中，是一种高效的递归滤波器。在滚抛磨块烧结过程测量中难免会引入噪声对控制精度产生一定的影响。本文采用卡尔曼滤波器滤除信道噪声和测量噪声，从而让算法能够学习到系统的纯净误差信息，同时能够处理系统的初始状态扰动，使控制器稳定跟踪预先设定的目标轨迹，为高品质滚抛磨块生产及提高滚抛磨块生产企业的自动化水平提供理论指导。综合以上分析，本文从滚抛磨块生产过程的控制角度进行研究，采用实验建模的方式建立烧结过程模型；针对建模不精确和数据包含噪声所带来的问题，本文提出KF-NMSSMPC的方法稳定跟踪期望轨迹，使其对模型包含的噪声具有鲁棒性。
为了提升带扰动的滚抛磨块烧结炉的控制性能，本文设计卡尔曼滤波器对信道噪声和测量噪声进行滤波处理；NMSSMPC来降低参数不确定和干扰对模型精度所带来的影响。仿真结果表明了这种控制策略具有很好的控制性能，结合卡尔曼滤波可以更好地抑制测量和信道噪声，减小了系统的跟踪误差。
1 烧结炉建模
1.1 过程描述
本文以陶瓷基磨块为实验对象进行研究。工业烧结炉通常在常压下进行烧制陶瓷基磨块，因烧结炉内的气体压力分布对于磨块成品性能的影响很小，所以主要考虑烧结温度对磨块性能的影响。随着烧结时间的推移，每个时间段对应不同的烧结温度，整个过程会发生一系列的物化反应[22]。滚抛磨块烧结过程主要包含3个阶段：初始阶段、中间阶段、最终阶段，在每个温度阶段采用线性升温方式，本文以陶瓷基磨块为研究对象，具体阶段温度控制如表1所示。
表1 期望过程参考参数
Table 1 Expected process reference parameter
温度/℃升温时间/min室温～200120200～60018060030600～90012090030900～11501801150150
对于陶瓷基磨块烧结过程来说，初始阶段主要影响颗粒的形状，中间阶段与气孔形状等密切相关，最终阶段影响气孔的尺寸等，烧结温度决定着陶瓷基磨块的显微结构与相的组成。表2是在不同温度下烧成的长石质陶瓷磨具的相的组成。
表2 不同温度下烧成的长石质陶瓷磨具的相组成
Table 2 Phase compositions of feldspar ceramic abrasives fired at different temperatures
烧结温度/℃相的组成/%玻璃相莫来石石英气孔体积/mm31210569323127058122821310611523113506210191
高温烧结阶段液相在没有或者很少的情况下，磨料表面粒子的表面能和晶粒间的晶界来推动陶瓷基磨料成分之间的反应，这与磨料的加热时间有着密切的关系；在液相产生前后，内部传质与传热过程都与烧结时间有关。因此，陶瓷基磨块烧结过程内部各种反应进行的程度，即烧成后制品所具有的性能除了与烧结温度有关外，还与整个烧结过程所控制的时间有很大关系。达到所期望的烧结温度，陶瓷基磨块密度最大，收缩率最大，吸收率最小。
陶瓷基磨块的性能会随着烧结温度的变化发生一定的变化[23]。若烧结温度低，相的组成中玻璃相和莫来石相的含量低，会导致烧结磨块密度较小，性能下降。若烧结温度高，相的组成中玻璃相和莫来石相的占比增加，内部会形成网状结构，互相交织，提高陶瓷基磨块的性能[24]。陶瓷基磨块在适当的烧结温度范围内烧结，其气孔体率会最小，而超过这一范围气孔率会增多，甚至会形成体积较大的气孔，这种大气孔(孔中气体大部分为Fe2O3分解产生的O2，如果磨料中含有氮化物，也会有N2生成)的形成与磨料有密切的关系。如果在烧制过程中出现过烧现象，磨块将会出现裂纹和黑心，那么会直接影响到后续加工工艺。
1.2 控制系统过程模型
滚抛磨块烧结炉控制器性能的好坏，其关键因素在于控制方法和相关参数的选择。传统的PID控制方法非常依赖工作经验，参数整定过程也比较复杂。当温度条件发生变化时，传统的PID控制器参数不能快速变化，系统达不到理想的控制效果。KF-NMSSMPC算法是一种考虑扰动的优化算法，它能够使炉温控制器做出相对准确和快速的变化。本文将卡尔曼滤波与非最小状态空间模型预测控制应用于滚抛磨块烧结控制，以达到满意的控制效果。滚抛磨块烧结炉温度控制系统框图如图1所示。
图1 滚抛炉温度控制系统
Fig.1 Temperature control system of abrasiver furnace
建立烧结炉热力学关系：
(1)
式中：M为电阻丝质量；C为比热容；H为传热系数；A为传热面积；T0为初始炉温；T1为加热后的温度；Qt为单位时间电阻丝所产生的热量。
滚磨烧结炉的增量微分方程：
(2)
在零初始条件下，即可得到滚磨烧结炉的传递函数：
(3)
2 优化的模型预测控制算法
KF-NMSSMPC是一种基于模型的控制算法，该算法对模型的精度要求低，动态性能好，可应用于大滞后和大惯性系统，烧结炉采用数据驱动的方式建立数学模型，不需要知道系统内部的具体参数。算法采用在线滚动优化，使未来系统的模型预测输出与给定参考轨迹之间的误差最小，并不断在优化过程中对系统状态进行滤波处理和反馈修正，克服模型不匹配和因噪声而产生的影响，增强系统的鲁棒性。控制系统原理框图如图2所示。动态矩阵控制算法[25]是一种典型的预测控制算法，利用烧结炉过程模型建立预测模型，根据现场已获得的一些条件进行反馈校正，通过滚动优化，来求解优化控制序列，确定控制量；卡尔曼滤波可以提高炉温控制算法的抗干扰能力，使系统的实际输出尽可能地跟踪参考轨迹。KF-NMSSMPC分为4个主要部分：预测模型、卡尔曼滤波、反馈修正和滚动优化。
图2 控制系统原理框图
Fig.2 Control system principle block diagram
2.1 非最小状态空间模型
传统的线性离散时间系统模型可以表示成如下状态空间表达式：
(4)
式中：xm(k)、y(k)、u(k)分别为状态变量、输出变量、控制输入变量，Am，Bm，Cm为对应的系数矩阵。
其变化量可以表示为：
Δy(k+1)=y(k+1)-y(k) .
(5)
Δu(k)=u(k)-u(k-1) .
(6)
则状态空间方程的差分方程可表示为：
Δxm(k+1)=AmΔxm(k)+BmΔu(k) .
(7)
定义新的增广状态向量为：x(k)=[Δxm(k)Ty(k)T].其中，
y(k+1)-y(k)=Cm[xm(k+1)-xm(k)]=
CmΔxm(k+1)=CmAmΔxm(k)+CmBmΔu(k) .
(8)
故有增广状态空间模型：
(9)
其中，Om=[0 0 … 0].
2.2 改进模型预测控制方案
2.2.1炉温预测模型
对于滚抛磨块烧结炉离散传递函数为：
(10)
其中，τ为时间延迟常数。F(z)和H(z)为多项式，记为：
F(z)=zn+f1zn-1+…+fn.
(11)
H(z)=h1zn-1+h2zn-2+…+hn.
(12)
选择非最小状态变量：xn(k)=[y(k) …y(k-n+1)u(k-1) …u(k-n-d+1)]T，则状态向量xn(k)是2n+d-1维的，而传统的最小状态向量为n+d维。
故烧结炉系统的非最小状态空间表达为：
(13)
其中，
根据增广矩阵定义，定义状态变量：
xk=[Δy(k) Δy(k-1) … Δy(k-n+1)
Δu(k-1) … Δu(k-n-d+1)y(k)]T.
因此增广非最小状态空间模型表达式如下：
(14)
w和v均为白噪声，服从如下正态分布：
p(w)～N(0,Q) .
(15)
p(v)～N(0,R) .
(16)
2.2.2卡尔曼滤波
基于图3卡尔曼滤波原理和控制增量Δu(k-1)令
状态变量的最优预测值为：
图3 Kalman滤波原理
Fig.3 Kalman filtering principle
(17)
1) 预测误差协方差阵为：
P(k|k-1)=AP(K-1)AT+Qk.
(18)
其中，Qk为预测值协方差矩阵。
2) 滤波增益为：
K(k)=P(k)ZT[ZP(k)ZT+Rk]-1.
(19)
其中，Rk为测量值的协方差矩阵。
3) 估计误差协方差阵为：
P(k)=[I2n+d-1-K(k)Z]P(k|k-1) .
(20)
其中，I2n+d-1是单位向量。
4) 误差为：
(21)
5) 估计状态值为：
(22)
2.2.3反馈校正
定义预测误差为：
(23)
其中，yp(k)是烧结系统传感器检测值，
是KF-NMSSMPC的输出值。
反馈校正可表示为：
e(k+i)=e(k)+hi[e(k)-e(k-1)] .
(24)
对应的矩阵向量形式：
(25)
其中，I=[1 1 … 1]T为预测误差修正矩阵，使用改进的预测输出修正后的预测输出：
(26)
2.2.4滚动优化
期望的参考轨迹为：
yr(k+i)=αiyp(k)+(1-αi)ys(k) .
(27)
式中：yr(k+i)是期望的烧结炉参考轨迹曲线；ys(k)是当前设定的一个阶跃值；α=exp(-Ts/Tr)为柔化因子，Ts是采样时间，Tr为时间常数。对应的矩阵形式：
(28)
其中，
由式(13)可得更新后的状态向量为：
(29)
其中，
其中，c是控制时域，c≤p；O是(2n+d)×1维零矩阵。
输出矩阵：
(30)
这里
是p×{(2n+d-1)×p}维。
可知校正后的预测输出为：
(31)
目标优化函数为：
J=[Yr-(λ+1)Y-E]TQ[Yr-
(λ+1)Y-E]+ΔUTRΔU.
(32)
式中：λ∈(0,1)为可调因子，在这里取λ=0；Q和R非负对角加权矩阵，其中Q=diag{q1,q2,…,qp}为误差权重矩阵，qi为权重系数；R=rwIc，其中rw是调优参数，Ic为c×c的单位矩阵。对目标优化函数求偏导，即∂J/∂ΔU=0可得控制增量形式：
ΔU=M[Yr-Yc] .
(33)
式中：M=[φTCTQCφ+R]-1φTCTQ，则M1=MCF，M2=MI、M3=MH，M4=MΨ，M5=M(I-Ψ)分别为
的系数矩阵。
在k时刻的增量控制变量为：
Δu(k)=-m1x(k)-m2e(k)-m3Δe(k)+
m4yp(k)+m5ys(k) .
(34)
其中，m1、m2、m3、m4、m5分别为系数矩阵M1、M2、M3、M4、M5的每一行。
烧结炉控制器的输出电压计算方法为：
u(k)=u(k-1)+Δu(k) .
(35)
在实际的烧结炉温度控制过程中，控制量电压会受到实际条件的限制，因此实际的控制量必然存在一定的范围。因此控制量满足以下约束：umin≤u(k)≤umax，其中umin为实际电压输出下界，umax为实际电压输出上界。
3 仿真研究
3.1 仿真系统的模型
以实验箱式电阻炉为研究对象，给烧结炉一个固定的阶跃信号，得到系统的阶跃响应如图4所示。
图4 烧结炉阶跃响应模型
Fig.4 Sintering furnace step response model
根据图4的实验数据，利用MATLAB辨识工具箱可以得到如下烧结炉过程模型：
(36)
经离散化后，取采样时间10 s，添加零阶保持器，可将广义过程模型式(36)转换为离散方程(37)，烧结炉离散传递函数为：
(37)
令x(k)=[Δy(k) Δu(k-1) Δu(k-2) Δu(k-3)y(k)]T对应带噪声的非最小状态空间模型如下：
(38)
其中，
C=[0 0 0 0 1] .
本文所设计的模型预测控制器的参数见表3.
表3 模型预测控制器参数
Table 3 Model predictive controller parameters
参数数值参数数值p10λ0c2Qdiag[1 … 1]10×10T/S10Rdiag[1 … 1]10×10
本仿真实验首先将NMSSMPC方法应用到滚抛磨块烧结炉控制中，但是在控制过程中存在噪声，控制效果变差，降低了滚抛磨块的性能；因此本文设计了KF-NMSSMPC控制器，为了验证本文所设计的KF-NMSSMPC控制器先进性，进行了以下仿真实验。
3.2 控制系统仿真实验及分析
3.2.1状态空间模型预测
在滚抛磨块烧结工况中，炉温参考轨迹一共有6个拐点，在拐点处易发生抖动。
仿真结果图5和图6是在没有加入扰动情况下进行试验的，从烧结温度误差曲线看出NMSSMPC算法已经有较好的跟踪性能，在转折处超调较小；温度误差曲线看出误差保持在一定的范围内，可以满足陶瓷基磨块的烧结要求。但在实际烧结现场往往会有各种噪声，所以有必要考虑扰动对烧结过程产生的影响。
图5 无扰动下烧结温度跟踪曲线
Fig.5 Sintering temperature tracking curve without disturbance
图6 无扰动下温度误差曲线
Fig.6 Temperature error curve without disturbance
由图7和图8的烧结仿真结果可以看出，在考虑有噪声的情况下，MPC的温度误差曲线出现一定波动，转折处温度超调量增大，烧结过程控制变差，进而会影响磨块的性能指标；为此需要对噪声进行滤波处理，来减弱噪声对烧结过程的影响，所以提出了一种基于KF-NMSSPC的算法，并将其应用于烧结炉中来改善陶瓷基磨块的质量。
图7 扰动下烧结温度跟踪曲线
Fig.7 Sintering temperature tracking curve under disturbance
图8 扰动下温度误差曲线
Fig.8 Temperature error curve under disturbance
3.2.2基于卡尔曼滤波的扰动模型预测
从图9-图11可以看出，在滚抛烧结过程中存在扰动的工况中，NMSSPC和KF-NMSSPC算法都能较好地跟踪期望参考轨迹，NMSSPC相比于KF-NMSSPC烧结过程温度误差大，控制效果差，系统所得控制量波动比较大，对仪器所需性能要求高；KF-NMSSPC算法更平稳地跟踪整个烧结炉控制过程。因此，本文提出的KF-NMSSPC算法优于NMSSPC算法，提高了烧结炉温度控制过程的平稳性，进而改善了滚抛磨块的表面性。
图9 带有干扰的系统输出响应
Fig.9 Model output response with disturbance
图10 带有扰动的系统控制量
Fig.10 Control quantity with disturbance
图11 带有扰动的系统误差曲线
Fig.11 Error value curve with disturbance
4 结论
本文提出了一种KF-NMSSPC算法并将其应用于滚抛磨块烧结过程。该方法减小了系统的跟踪误差，而且提高了闭环系统的抗扰动能力，使烧结炉系统具有更好的鲁棒性。控制系统仿真了单输入单输出模型的控制过程，其中NMSSPC与KF-NMSSPC的算法控制效果进行了比较，结果表明，KF-NMSSPC算法在整个炉温控制过程对扰动有一定的抑制作用，可以更好地跟踪烧结曲线，很好地改善模型不匹配和噪声等扰动对烧结炉控制系统的影响，提升陶瓷基磨块的品质。
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