依据FAST(Five-hundred-meter aperture spherical radio telescope)的反射面的调节机理[1]，全面构建主反射面的调节系统，通过研究解决从精度、速度等方面对其反射面进行深度的调节，解决实际工作中的问题，为我国的天体物理和数学模型的建立奠定基础。
目前在FAST主动调节的研究中，常用的反射板调节策略的预测方法有粒子群算法、支持向量机、遗传算法等等。张胜男[2]基于支持向量机实现了FAST节点位移预测模型，属于基于支持向量机算法在FAST节点位移预测的有益实践；端素红[3]采用粒子群算法解决了FAST主动反射面的整网控制问题；李明辉等[4]利用Matlab建立主索节点变位数值模型,对各种变形策略的主索节点位移量进行策略分析，对于提高主索网和反射面的调整精度意义重大；这些算法虽然各有优点，但FAST节点数目众多，节点位置数据量庞大，从而导致运算速度慢，计算程度复杂。因此，本文提出了一种基于梯度下降寻优算法的FAST主索节点及各促动器位置调节策略，更新速度快、可跳出局部最优到达全局最优。
目前对于FAST自主调节模型的建立局限于对点的模型，缺少基于促动器变形和反射面调整的动态变化调节过程，在评价策略上主要以节点运动参数、控制周期和索长精度来进行研究，缺少在馈源舱接受比的量化分析策略。
本研究对FAST(500 m口径球面射电望远镜)主反射面的调节和主索节点的运动调节建立有效的数学模型，采用梯度下降算法有效改善天体电磁波到达FAST馈源舱的接收效果。在对FAST馈源舱的接收面积与信号接收率的求解上，通过与费马原理的结合，将费马原理应用在光线三维空间反射方面，成功计算了三维空间内的反射光斑在馈源舱的反射接收情况，得出量化依据和量化参数法。经检验，在本模型当中得到的均方误差(Mean square)为0.308 9，说明FAST可以实现在某射波频段自如进行自主面调节的工作，并获得较高的馈源舱接受比。
1 一般位置理想抛物面的模型
1.1 一般位置理想抛物面的模型求解策略分析
建立FAST一般位置的理想抛物面的主索网面优化变形的几何模型，步骤如下。
首先，假设在特殊情况下，即被观测天体位于α=0°、β=90°，求解此时的最佳抛物面方程。将特殊位置的理想抛物面点按照面点分布律进行离散化，并确定离散空间各点的空间坐标(其中包括重要的主索节点的空间坐标)。
其次，利用旋转方程和转轴定理，综合特殊位置理想抛物面离散结果，可反求空间抛物面；求出被观测天体位于一般角度情况下，最佳抛物面的空间方程，优化了最佳抛物面的计算过程，降低了抛物面方程计算的复杂度，将计算过程简单化，应用更加广泛化。
最后，量化了理想抛物面下FAST馈源舱的信号接受比，并检验了本方案的主索网面调整方案的信号反射效果。
1.2 特殊位置理想抛物面的变形模型
假若FAST观测天体的位置在最特殊情况下，即α=0°、β=90°时(天体的方位描述以α、β量化描述为准，如图1所示)，需给出在满足实际工作条件
图1 天体观测的方位角和仰角示意
Fig.1 A sketch of azimuth and elevation for celestial observations
下，FAST主反射面板调节约束条件下的理想抛物面位置，即相应形状，以此来指导以促动器为主的主索节点调节方式。
如图2，以球面(作为基准面)的球心为原点，可得球面和抛物面方程如式(1)所示：
(1)
其中，设定球面与抛物面口径相同均为R=300 m.
图2 特殊位置抛物面和基准球面的相互位置剖面示意
Fig.2 Special position paraboloid and benchmark spherical
position profile sketch
当最低点的偏移距离h=0时，根据FAST调节设计要求，令F=0.466R，利用抛物线和旋转抛物面相关理论，利用Matlab工具得出理想抛物面的几何解析表达式为：
x2+559.2y+559.2×300.4=0 .
(2)
以标准方程式可做出空间内三维理想抛物面，其口径为300 m，最低点与基准球面相重合于一点。为清晰直观地观测理想抛物面与基准面的相互位置关系，以GRASP建立实时工作仿真模型如图3所示。
图3 GRASP建立实时工作仿真模型
Fig.3 The real-time working simulation model is
established in GRASP
根据基于解析几何理论的特殊位置建立的理想抛物面的优化变形几何模型，从直观上可以得知，其边缘处与基准圆面的光滑性越好，则调节难度越小，精度越大。反之，在衔接处会出现较大的拉压载荷，造成较大的应力，这就使得工作过程极其容易出现疲劳现象。通过对连接的光滑性和工作强度和疲劳性等影响因子进行综合考虑，在实际调节过程中就必须满足一定的约束条件才能使FAST真正高效的运行。
1.3 构建理想抛物面、特殊抛物面到一般位置抛物面的转化关系
如图4，在基准面的球心点处建立以此为原点的坐标系S(O，X，Y，Z)，Z轴方向如图所示向上，在一般的天体位置，即被测天体(方位角α和仰角β)处于一般位置的情形，而
方向如图所示为Z′轴的正方向，S′(O，X′，Y′，Z′)坐标系如图4所示，且可得在S′坐标系当中，FAST理想抛物面的方程表达式为
(3)
其中，h′为理想抛物面沿Z′轴的偏移量的大小。
图4 设计抛物面的坐标系及转化坐标系
Fig.4 Coordinate system paraboloid and transform
coordinate system of desigh
由被测天体的观测方向
与理想的交点C即为空间抛物面的顶点位置，与基准球面的交点A即为空间抛物面的顶点C在基准球面的初始点。
OC线，被测天体的观测方向，亦即Z′方向为理想抛物面的中心轴线方向，由于理想抛物面与基准球面基本吻合，可认为
两直线方向重合。设定A，C两点之间沿方向的偏差距离为d，若设A(x,y,z)点的参考单位法线方向矢量为p=[px,py,pz]，则可表示C点坐标(x0,y0,z0)为
(4)
根据空间转化理论，空间的轴交角度在天体空间测量坐标系中进行三轴旋转后，得出最终的抛物面方程，其3个平面的单一投影旋转关系变换矩阵如下所示：
(5)
(6)
(7)
设天体观测的角度为α、β，例如在α=36.795°、β=78.169°的情况下，则可利用转轴公式得到单轴的空间旋转角度，如表1所示。
表1 利用转轴公式得到单轴的空间旋转角度
Table 1 Inter rotation profit of shaft customs form
名称角度/(°)空间坐标以X轴为转轴的转角0.00空间坐标以X轴为转轴的转角11.83空间坐标以X轴为转轴的转角36.80
为了求解出空间三维的表达式，可根据具体的空间抛物面中轴线的偏移关系，代入上述建立的空间坐标变化矩阵，得到的(xg,yg,zg,1g)general相对于
的三维转轴变换矩阵M.可见，一般位置理想抛物面各点坐标(xg,yg,zg,1g)general与特殊位置理想抛物面各点的坐标满足关系：
(8)
其中，M矩阵由式(5)-(7)，代入相应角度数值相乘即可得出：
1.4 一般位置理想抛物面空间解析式模型及其结果分析
从求出的特殊位置的理想抛物面出发，根据特殊位置抛物面上的离散点经过三维转轴旋转矩阵M变换后得到的空间面，经过全部主索节点的坐标拟合可得最终确定的一般情况下的抛物面解析式为：
0.001 740 0x2+0.001 760 0y2+0.000 075 2z2-
0.000 430 0yz-0.000 071 7xy-0.000 575 0xz-
0.164x-0.123y-0.979z=300.600 .
(9)
作抛物面方程的曲面图如图5所示。
图5 一般位置的理想抛物面模型图
Fig.5 Diagram of an ideal parabolic model in general position
由理想抛物面方程，可做出空间内三维理想抛物面具体方位图(见图2)，可测出其口径为300 m，最低点与基准球面相差h=0 m，图中S代表被测天体的位置，直线SC代表理想抛物面中心轴线，可认为是被测天体发射电磁波的传播方向亦代表前文提及的方向。所求理想抛物面的切平面位置与SC直线垂直，SC直线几何关系如图6所示。
图6 一般位置的理想抛物面的位置形状
Fig.6 General location of the ideal position of parabolic shape
经检验，三维理想抛物面与基准球面较好地实现了圆滑过渡连接，其形成的口径均为300 m.此次建模过程以GRASP(general responsibility assignment software patterns)进行模拟仿真[5]，建立实际状况下的工作效果图如图7所示。
图7 GRASP下实际状况下的工作效果图
Fig.7 Graph of work efficiency under GRASP solid state
依据坐标变换矩阵M及特殊位置抛物面电磁波传播直线SC，带入式(8)，得到一般位置抛物面情况下，被观测天体和反射球面球心建立的电磁波传播直线方程SC为：
(10)
同时由一般位置抛物面与直线相交的空间理论，可由波的直线传播方程联立一般抛物面方程，可得一般抛物面方程顶点坐标O′(-49.319，-36.889，294.020)和抛物面焦点坐标P′(-26.336，-19.699，157.007).
2 一般位置的网面调整策略
2.1 建立目标最优的规划函数
模型建立过程充分考虑一般位置的瞬时抛物面的反射效果[6]，即令瞬时反射面更加贴近理想抛物面，则应建立两面贴合的距离函数，在若干约束条件下，使其结果达到最优。
依据关于促动器运动学的研究成果[7]，根据理论抛物面上的对应主索节点的位置坐标矩阵R(Rij)和在促动器位移调整变化之后的主索节点的位置坐标矩阵T(Tij)之间的距离的大小，可确定调节后反射面的空间坐标最优解，主反射面的结构功能关系示意图如图8所示，具体的规划函数如下：
(11)
图8 主反射面结构与功能关系示意图
Fig.8 Schematic diagram of structure and function
relation of main reflecting surface
2.2 构建约束条件
1) 根据FAST调节精度所限制的调节幅度[8]，促动器与下拉素的运动结构示意图(见图9)，反射面板调节后的任意两个相邻的主索节点的位置坐标间距G(Gij)需满足两者之间的距离浮动在位于0.07%浮动范围距离矩阵U(Uij)之内。
∀相邻Gij∈Uij.
(12)
图9 促动器与下拉索结构示意图
Fig.9 Structural diagram of actuator and lower cable
2) 根据制作要求，促动器的位移范围应当限定在(-0.6 m，0.6 m)之间。在运算中需要构建促动器的基准初始位置与调整后的促动器位置之间的距离关系，即反射面调节的促动器伸缩位移变化量N(Nij)，若在促动器移动为径向的前提下，其变化量近似与主索节点间距离的变化量相等，可构建约束式为：
(13)
若对于一般的空间主反射面，主反射面调节的促动器伸缩量变化值N(Nij)均应位于区间(-0.6 m，0.6 m)；具体的则由调节后的各主索节点对应促动器的上顶点位置L(Lij)与基准状态时促动器的基准位置M(Mij)间距进行表示。
3) 由于下拉索的材料性质决定其长度不可伸缩[9]，那么调节后的促动器上顶点的位置P与调节后的主索节点T的位置间距要满足下拉素长度为定值的约束。
(14)
2.3 综合构建促动器调节规划模型
由上述各约束条件分析，最终得出综合的数学规划模型如式(15)所示。
(15)
其中，i=1,2,…,692，代表筛选有效区域的有效点；j=1,2,3，代表空间坐标系的描述方式为三维空间坐标。
3 求解算法与结果讨论
3.1 梯度优化算法求解主索节点路径
根据梯度优化算法[10]在深度学习中的应用可知，对于多维的优化函数，可利用梯度偏导的概念进行新点建议性计算。即偏导数
代表某处的函数增幅变化，而梯度方向导数是F(Ti+γu)关于γ的导数，显然当处有γ=0，
(16)
在对FAST一般位置自主反射面变形的网面调整规划函数求解的过程中，为了最小化F(Ti)，亦即通过方向导数寻找下降迅速的方向，
(17)
其中ξ是与梯度的空间自然角。
利用确定步长的值κ，根据算法建议的新点坐标
进行最优规划计算，可以很快很好地移动到最优值，这也是在自主反射面变形的网面调整策略使用梯度下降法的重要意义。
3.2 主索节点调节的结果参数
从促动器调节主索网反射面的理论出发[11-12]，再采用非线性规划策略对一般位置实现自主抛物面变形的网面调整策略模型，利用Matlab等工具对规划结果进行求解[13]，得出主索节点自主调节前后的主索节点各个位置坐标，并对调整到一般位置抛物面的对应促动器的伸缩量进行求解，其中部分调整后的主索节点的空间坐标，如表2所示。
表2 部分调整后的主索节点的空间坐标
(以与A1相邻的节点为例)
Table 2 Spatial coordinates of partially adjusted main cable
node (taking the node adjacent toA1as reference) m
部分调节后的主索节点编号主索节点X坐标主索节点Y坐标主索节点Z坐标A000-299.904 1B16.100 48.397 0-299.860 2E1-9.870 7-3.206 9-299.852 6A3016.783 9-299.331 0E3-15.979 05.191 5-299.643 4A2-12.189 116.777 5-299.209 6
部分调整后的主索节点对应的促动器的伸缩量，如表3所示。
表3 部分调整后的主索节点对应的促动器
的伸缩量(以与A1相邻的节点为例)
Table 3 Expansion and contraction of the actuator
corresponding to the partially adjusted main cable
node (based on the adjacent section withA1)
部分调节后的主索节点编号对应的促动器的伸缩量/mA00.495 9B1-0.140 0E10.367 6A30.600 0E30.287 0A20.471 5
3.3 馈源舱接收比分析
对于信号接收效果的分析[14]，该方案采用光线模拟的方法，利用费马原理[15]在光线三维空间反射方面的应用，计算三维光线的入射角、反射角、入射点等等，从而分析三维空间内的反射光斑在馈源舱的反射接收情况，其中空间电磁波在反射板上的反射情况，如图10所示。
图10 空间电磁波在反射板上的反射情况
Fig.10 Reflection of space electromagnetic wave on reflector
可根据抛物面上反射到馈源舱的反射光线所投出的面积与所有镜面反射光线所投出面积之比求出馈源舱的接收比[16]；求出三角形小镜面边界处3个主索节点处的光线反射情况，得到小镜面反射的光斑面积。通过判断反射光斑是否经过接收器圆盘的圆心O，判断反射光线是否到达馈源舱。由于天体距离FAST很远，可以认为FAST的接收光线的近似方向为SC直线方向，其中，对应反射光线的反射方向矢量可以由费马原理求出，入射点即为主索节点。
利用Matlab求解得接收比为1.43%，调整抛物面照明区域内反射面板数为1 295块，成功反射信号到达馈源舱的反射面板数量为1 295块，比率为100%.证明调整抛物面信号反射成功率极高，但由于馈源舱接收面积较小(3.141 5 m2)，单个反射面板平均面积较大(54.822 9 m2)，反射面板总面积较大(70 995.659 1 m2)，导致信号接收比较小。
根据费马原理求得主索节点处入射、反射光线、反射信号接收，如表4所示。
表4 主索节点处入射、反射光线方向、
反射信号接收情况如下
Table 4 Cable point entry and ray to anti signal connection,
such as incident at the main cable node, reflected light
direction and reflected signal reception are as follows
主索节点入射光线的方向向量反射光线的方向向量信号接收情况A0(-49.31,-36.889,-294.02)(-0.228 8,-0.153 5,1)是B1(-49.31,-36.889,-294.02)(-0.228 8,-0.153 5,1)是E1(-49.31,-36.889,-294.02)(-0.160 7,-0.104 4,1)是A3(-49.31,-36.889,-294.02)(-0.187 0,-0.209 9,1)是E3(-49.31,-36.889,-294.02)(-0.141 0,-0.079 3,1)是
4 结束语
本文基于促动器调整反射网面的相互关联理论，采用非线性规划策略和寻优算法建立对一般位置实现自主抛物面变形的网面调整策略模型，以理想抛物面和调节后的主反射面的空间距离为衡量指标建立数学模型。根据相关资料文献显示，理想抛物面与实际工作面之间有一定的位置偏差，在衡量两者的偏差关系时将考虑两者的均方误差。经检验，在本模型当中得到的均方误差(Meansquare)为0.308 9，则可以认为FAST在此种主动调节的模式下可以平稳高效的工作。同时考虑并量化了FAST馈源舱接收比的影响，这一方案是对FAST主索网面的自我调节效果的有益检测和有效优化。
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