桩作为工程中常用的受力构件，其承受的荷载较为复杂。在一些工程中，水平荷载成为控制桩基设计的重要因素。对于水平受荷桩，根据桩土相对刚度的大小，其破坏模式分别为刚性转动破坏和柔性弯曲破坏，对应的单桩可分别称之为刚性短桩和柔性长桩。由于刚性短桩的承载特性较柔性长桩简单，为了较为简便地获得柔性长桩的极限承载力，MEYERHOF[1]以及POULOS et al[2]建议将柔性长桩等代为刚性短桩进行计算分析。对于刚性短桩，在仅承受水平荷载时，桩体自身变形可以忽略，桩体作为刚体绕某一点转动，在达到极限荷载时，桩体被动侧土体达到极限。众多学者[3-6]采用被动侧土体为楔形体破坏模式来计算桩侧土体极限抗力，但是忽略了楔形破坏体中的土拱效应，与实际情况不符。当刚性短桩在水平荷载的作用下绕一点转动时，桩与桩侧土间及各相邻土层间产生相对位移趋势，进而导致土层的主应力方向发生偏转，从而在破坏的楔形体内形成显著的土拱效应。
根据前人研究，结构物后土拱可以假设为圆弧拱[7]、抛物线拱[8]和悬链线拱[9]。本文在计算柔性长桩水平极限承载力时，将柔性长桩等代为刚性短桩，然后考虑被动侧土体的楔形体破坏模式及土拱效应，推导了桩后土压力系数与水平微分单元层间摩擦系数的理论公式，得到了刚性单桩水平极限承载力的改进计算方法，并与国内外实验数据进行了对比和验证。
1 考虑土拱效应的刚性桩桩侧土体极限抗力分析
1.1 桩后主应力拱分析
桩顶在水平荷载p作用下并朝向土体方向转动达到极限时，桩后土体受压并达到被动极限平衡状态。假设破坏模式与REESE[10]关于桩周上部土体破坏楔形体模式相似，如图1所示，图中α=φ/2.同时，考虑到土体与桩侧的摩擦角δ，根据库仑土压力理论，其滑裂面倾角β的计算公式为
(1)
式中：β为破坏面与水平面的夹角，φ为土体的内摩擦角，α为破裂面扩散角，δ为土体和桩的外摩擦角。
图1 桩前楔形体破坏模式及桩前土拱
Fig.1 Failure mode of wedge and soil arch of pile
桩体发生水平位移时，桩土间的摩擦角逐渐发挥，被动侧土体主应力发生偏转，在土体中形成向上凸的大主应力轨迹线，即为大主应力拱。假设楔形破坏体内的主应力轨迹线为圆曲线，如图2所示。
图2 桩被动侧土体大应力拱分析
Fig.2 Large stress arch of passive zone of pile
拱迹线上任一点大主应力σ1的方向相切于拱迹线，小主应力σ3的方向垂直于拱迹线。图2中B为圆弧拱的圆心与桩迎土侧间的水平距离；σmh为圆弧拱微元体水平应力分量；σmv为圆弧拱微元体竖直应力分量；ψ为圆弧拱半径与水平方向的夹角。
1.2 任意深度桩土界面位置主应力旋转角θ
在任意深度桩土界面位置，图3所示为摩尔应力圆的桩边处剪应力。
图3 桩边处单元土体摩尔应力圆
Fig.3 Mohr stress circle of unit soil at pile edge
τw=(σ1-σ3)sinθcosθ.
(2)
水平应力：
σh=σ1-τwcotθ.
(3)
由式(2)和式(3)得：
σh=σ1sin2θ+σ3cos2θ.
(4)
同除以σ3，令
得出
=cos2θ+Kpsin2θ.
(5)
由图3可知σv-σ3=σ1-σh，故
=sin2θ+Kpcos2θ.
(6)
同理可得出拱迹线上任意一点：
=cos2ψ+Kpsin2ψ.
(7)
=sin2ψ+Kpcos2ψ.
(8)
水平剪应力
τmv=(σ1-σ3)sinψcosψ.
(9)
对于桩边处主应力旋转角θ值：
由图3得：
τw=(σ1-σh)tanθ=σhtanδ.
(10)
由式(4)及式(5)得
(11)
由式(10)及式(11)可得：
(12)
解上式可得到两个θ值，较大值对应被动土压力的情况，由此得出桩边处主应力旋转角：
(13)
1.3 圆弧形拱迹线分析
由式(8)-式(10)可知，对于圆弧拱任意位置处单元体竖向正应力σmv、水平向正应力σmh以及相应的斜截面的剪应力τmv的大小皆与M点处应力旋转角ψ有关。下面推导ψ与桩边处土体单元应力旋转角θ的关系。
图4 圆弧拱形分析
Fig.4 Arc arch analysis
由图4，三角形abc和三角形doc相似，故
将ob=B/cosθ，oc=Btanθ/sinψ，cd=Btanθcotψ,ad=B-x代入上式，可得
故
(14)
x>B时：三角形odf和三角形fgh相似，同时将oh=B/cosθ，of=Btanθ/cos(ψ-π/2)，df=Btanθtan(ψ-π/2)，dg=x-B代入上式，可得sin(ψ-π/2)=(x-B)cosθ/B
故
(15)
因此x无论为何值，式(14)及式(15)始终成立。
将式(15)分别代入式(8)、式(9)和式(10)得：
(16)
(17)
(18)
1.4 侧土压力系数Kwp与层间摩擦系数tanφ′
计算桩侧土压力时，侧土压力系数Kwp定义为桩边处水平应力σh与水平单元平均竖向应力σav之比，而不是σh与桩边处单元土体σv之比。由此得：
(19)
任意深度水平单元σmv/σ1的平均值为
(20)
取任意深度z0桩主动侧破坏楔形体的某一水平面，如图5所示。设桩径为b，则式(20)中A=(B+Btanα)，dA=(2xtanα+b)dx.
图5 破坏楔形体平面示意图
Fig.5 Plane diagram of failure wedge
则由式(19)及式(20)得
(21)
对于绕底转动的桩体，采用水平单元法计算桩侧土体抗力时，水平层间存在剪应力。根据文献[8]中关于水平微分单元层间摩擦系数tanφ′的定义，认为微分单元平均水平剪应力τav与平均竖向正应力σav的比值，即：
(22)
将式(18)代入上式并整理后得：
cos3θ(Kp-1)·(Btanα+2b)] .
(23)
1.5 桩后土体抗力计算基本方程及其解答
在楔形体内任一深度z处，取一厚度为dz的水平微分单元，得到桩后土压力分析模型如图6所示。作用于微分单元上的力包括：土体自重形成的竖向力dW=γdV；单元上、下表面的平均垂直压应力σav和(σav+dσav)及平均剪应力τav和τav+dτav；桩体水平反力σh；桩体与桩侧土体摩擦力τh；作用于单元两侧的切向应力τh以及法向应力fn，作用于滑裂面的法向应力r及剪应力τ.各应力的作用方向如图6所示。
图6 桩后土体抗力计算简图
Fig.6 Calculation diagram of soil resistance of passive zone
根据竖向力平衡：
σavA2-A1dσav+τhbdz+dW+2τncosηA3+
τsinβA4-rcosβA4=0 .
(24)
式中：A1为单元下表面积，A2为单元上下表面积差，A3为单元侧表面积，A4为单元滑裂面面积。
令τh=σhtanδ，σh=Kwpσav，τn=k0γytanφ，τ=rtanφ，代入式(24)得：
σavA2-A1dσav+Kwpσavtanδbdz+γdV+
2k0γztanφcosηA3+rtanφsinβA4-rcosβA4=0 .
(25)
式中：dV为水平微分单元体积，η如图1中所示。
根据单元体水平力平衡得：
τavA2-A1dτav+σhbdz-2τnsinηcosαA3+
2fnsinαA3-τcosβA4-rsinβA4=0 .
(26)
令
代入式(26)得：
(sinα-sinηtanφcosα)/[(tanφcosβ+sinβ)A4] .
(27)
将式(27)代入式(25)并整理得出：
lσav-mdσav+dW+n=0 .
(28)
式中：
l=A2(1+etanφ′)+Kwpbdz(tanδ+e) ,
m=A1(1+etanφ′) ,
n=2k0γzA3[tanφcosη+e(sinα-sinηtanφcosα)] ,
1.6 计算过程
上述计算桩侧土体抗力的公式(28)可以采用差分方法进行解答。解答过程如下：
1) 根据已知条件求取β值和θ值；
2) 将桩主动侧土体破坏楔形体沿深度分为n段：每段长度为dz=H/n，第一段边界条件为：σav[0]=q，q为地面堆载；
3) 根据式(22)以及式(24)求取第1段中点处的Kwp[1]和tanφ′[1]，式中B[1]=[H-(i-1)×dz-dz/2]·ctgβ；
4) 根据式(28)求取dσav[1]，则σav[1]=dσav[1]+σav[0]；
5) 重复步骤(3)-(4)，依次求取第2，3…n段，最终得出σav[i]，i∈[0，n]；
6) 由σh[i]=Kwp[i]·σav[i]可以得出某一深度处桩侧土体极限抗力。
2 水平极限承载力分析
对于砂土中的水平受荷桩长桩等代长度Leu与L的关系采用式(29)确定[11]。
Leu/L=1.8(Krs)0.12≤1 .
(29)
式中：Leu为长桩等代长度；L为柔性长桩桩长。
(30)
式中：Krs为桩土相对刚度；Eh为桩端位置处土体水平反力模量；d为桩径。定义Krs>10-1为刚性短桩，Krs<10-1为柔性单桩。
图7为水平荷载作用下刚性短桩桩侧土体极限抗力沿桩体埋深的分布模式[3，12]。在已知桩体尺寸以及砂土土体性质的情况下，桩侧土体极限承载力pu可根据上节分析获得，由砂面处桩体截面的受力平衡，联立求解式(31)和式(32)，即可得出a及水平极限承载力Fu.
图7 水平荷载下桩侧土体极限抗力分布模式
Fig.7 Distribution pattern of ultimate resistance of soil
around pile under horizontal load
Fu=
(pu·d)dz.
(31)
Fue=(pu·d·z)dz.
(32)
采用上节考虑土拱效应的极限土压力对相关文献的刚性短桩极限承载力进行了计算，同时对文献[17]的室内模型试验进行了分析。室内模型试验采用的模型桩经式(30)计算得出的Krs为1.45×10-4，小于10-2，因此为柔性桩，采用式(29)将柔性模型桩等代为刚性短桩，得出等代长度为903.8 mm，所得计算结果与相关文献计算结果一并见表1。由表1可知，计算结果与实测结果误差在-25.0%～22.6%之间，但主要在-4%～10%之间波动，计算结果与实测结果误差相对较小。另外平均误差为2.9%，可见采用本文方法所得计算结果能够满足工程要求。另外由室内模型试验结果可以看出，将柔性长桩等代为刚性短桩可以较为简单并合理得出长桩的水平极限承载力。因此，对于柔性长桩，可以将其等代为刚性短桩，然后采用本文计算方法确定水平极限承载力。
表1 刚性短桩水平极限承载力计算结果与实测结果对比
Table 1 Companson of calculation results of horizontal ultimate bearing capacity with measurd results
编号桩体尺寸L/mmd/mm土体参数γ/(kN·m-3)φ/(°)E/mmFu0/kNFuc/kN(Fuc-Fu0)/Fu0/%文献出处1444.5101.615.731317.50.150.1713.32444.5101.617.645317.50.540.575.63444.576.217.645317.50.410.447.34444.550.817.645317.50.340.378.8Adams and Radhakrishn[13]5730.073.014.640170.00.760.57-25.06900.010214.6402801.401.21-13.6Joo[14]7612.0102.016.535150.00.620.7622.68612.0102.017.341150.01.041.1914.49612.0102.018.345.5150.01.791.821.7Prasad and Chari[15]105 490610.016.5420723.0792.89.7Bhushan et al[16]11903.84618.625.201.0441.009-3.412903.84618.625.21000.7980.781-2.113903.84618.625.22000.7310.718-1.8王卫中[17]平均误差2.9
3 结论
1) 将柔性长桩等代为刚性短桩，基于桩后土体破坏楔形体的土拱效应，推导了桩后土压力系数，得到了柔性单桩水平极限承载力的改进计算方法。
2) 和已有研究成果以及相关模型试验数据进行了对比分析。计算结果表明，本文考虑土拱效应的计算方法能够较为理想地反映试验结果，对柔性单桩的水平极限承载力确定具有一定的指导意义。
3) 本文方法仅能得出柔性单桩的水平极限承载力。对于想要获得桩顶位移及桩体内力，仍需要采用其他方法进行计算。
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