结合面在机械结构中大量存在，使得机械结构或系统不再具有连续性，进而导致了问题的复杂性。从微观上看，结合面局部呈杂乱无规律分布的一系列高低不同的微凸体；从总体上看，微凸体又表现自相似性分布的特性，因此，结合面具有明显的分形特征，有不少学者利用分形理论对结合面建模方面进行了研究[1-6]。
文献[7]建立了一个球体与硬光滑面(不考虑摩擦)的弹塑性接触卸载模型，推导出在一定载荷水平下弹塑性球体接触无量纲接触载荷和卸载过程中残余位移的经验无量纲表达式，得出球接触在弹塑性接触变形状态下的卸载是一种非线性非弹性现象。文献[8]研究了不同尺度不规则金属粗糙结合面在动态激励下的摩擦机理，探讨了如何解决在考虑不同尺度的情况下微凸体的变形问题，得出激励的强度和所加的法向载荷对弹塑性材料特性物体结合面间摩擦的影响。文献[9-10]对结合面接触的黏滑摩擦进行建模，研究塑性指数对切向载荷和相对变形的影响，并得到两者之间的关系。
结合面间的接触行为对摩擦学和接触力学的研究有重要的作用，而在机械零件工作中，结合面不断受到接触力的作用，表面微凸体不断处于加载-卸载的状态，所以研究微凸体加/卸载过程的接触行为很有必要。微凸体弹塑性接触变形的加/卸载的研究是接触力学、生物力学、微电子学和机器人技术等研究领域中非常重要的问题[11-12]。实际工程中的接触表面都不是完全光滑的，存在摩擦、磨损的问题，摩擦因素对结合面接触特性的影响不可忽视，然而很多模型在研究的过程中假设了不考虑摩擦因素的影响[13-15]。为解决这个问题，本文在前期研究成果的基础上，考虑摩擦因素的影响建立一种考虑摩擦因素的结合面弹塑性变形加/卸载分形理论模型，本模型对今后研究结合面反复加/卸载过程中的行为有一定的参考价值，对接下来要研究的结合面加/卸载过程中摩擦因素所起到的影响作用有重要的意义，对更加科学合理地描述结合面接触状态有一定帮助，以期为结合面的接触、摩擦等问题的研究提供理论依据。
1 考虑摩擦因素时单个微凸体接触面积、接触载荷分形模型
图1为单个微凸体与刚性平面接触时加载-卸载过程示意图，加载过程中，随着变形量的增大，微凸体处于不同的变形状态，当加载到一定程度时对微凸体进行完全卸载，对于不同变形状态的微凸体其加/卸载过程的规则不同，需分别进行研究。
图1 微凸体变形示意图
Fig.1 Deformation diagram of asperity
1.1 加载过程
1) 微凸体的弹性变形。根据赫兹理论，微凸体在接触过程中由弹性变形变为弹塑性变形所对应的临界变形量为：
(1)
式中：K=0.454+0.41υ；H为相互接触的材料中较软者的硬度；E′为材料的等效弹性模量，
分别为两接触材料的弹性模量；υ1、υ2分别是对应的泊松比。
当结合面之间有相对滑动摩擦时，微凸体出现初始屈服的临界平均接触压力为[6]：
pc=1.1kμσs.
(2)
式中：σs是屈服极限；μ为摩擦系数；kμ是与摩擦系数有关的摩擦力修正因子。
将式(2)代入式(1)得出考虑摩擦因素影响时微凸体弹性临界变形量为：
(3)
式中，
(4)
由此可得考虑摩擦因素影响的情况下，微凸体弹性临界接触面积为：
(5)
由式(5)可以看出aμec是与kμ(摩擦力修正因子)、σs(屈服极限)、E′(等效弹性模量)、G(轮廓参数)、D(分形维数)、γn(粗糙表面频率参数，通常取γ=1.5)有关的函数，而以上参数均为材料的分形参数、材料的物理参数以及摩擦系数，所以当结合面摩擦状态确定时，微凸体弹性临界接触面积aμec为定值。
在考虑摩擦因素影响下单个微凸体弹性临界接触载荷为：
(6)
2) 微凸体的弹塑性变形。根据KOGUT[16]的研究，单个微凸体与刚性平面接触，当变形量满足ωec≤ω≤110ωec时，微凸体处于弹塑性变形状态，该弹塑性变形阶段根据下压量不同可分为两个弹塑性变形阶段，其接触面积与载荷的拟合曲线分别为：
第一弹塑性变形阶段(ωec≤ω≤6ωec)
(7)
第二弹塑性变形阶段(6ωec≤ω≤110ωec)
(8)
将式(3)、(4)分别代入式(7)、(8)可得考虑摩擦因素影响情况下，加载过程中微凸体发生弹塑性变形时的载荷为：
(9)
(10)
由此可得，考虑摩擦因素影响的情况下，微凸体处于第一弹塑性变形临界状态时的临界接触面积和临界接触载荷分别为：
aμepc=7.119 7aμec.
(11)
(12)
考虑摩擦因素影响的情况下，微凸体处于第二弹塑性变形临界状态时的临界接触面积和临界接触载荷分别为：
aμpc=205.382 7aμec.
(13)
(14)
3) 微凸体的塑性变形。当微凸体的变形量大于110ωμec时，将发生完全塑性变形，此时，接触面积和接触载荷分别为：
aμp=2πRω.
(15)
fμp=Haμp.
(16)
1.2 卸载过程
微凸体处于不同的变形阶段时，对其进行卸载会有不同的情形。当微凸体发生弹性变形时，卸载会使得其变形完全恢复初始状态，此种情况下微凸体的接触载荷和接触面积和加载过程一致。而当微凸体发生完全塑性变形时，即使对其进行卸载微凸体的变形量也不会有所恢复，所以在研究微凸体的卸载过程时，本文指的是微凸体发生弹塑性变形时的卸载过程。对发生弹塑性变形的微凸体进行卸载时，微凸体的变形并不能恢复到加载前的原始状态，即ωu≠ω.ETSION et al[7]在前期的研究中提出残余变形量ωres和微凸体的最大变形量ωmax存在如下关系：
(17)
卸载后的半径Ru与初始半径R之间存在如下关系：
(18)
其中，σs为材料的屈服极限。
根据式(7)、(8)、(17)、(18)以及fμec得到考虑摩擦时卸载过程中单个微凸体在弹塑性变形阶段的载荷为：
(19)
(20)
由上式可见，
2 考虑摩擦因素时结合面实际接触面积、接触载荷分形模型
根据文献[17]，微凸体面积分布密度函数为：
(21)
2.1 加载过程
1) 结合面实际接触面积
Aμr=Aμre+Aμrep1+Aμrep2+Aμrp.
(22)
其中，考虑摩擦因素影响下，弹性变形阶段结合面实际接触面积为：
(23)
考虑摩擦因素影响下，第一弹塑性变形阶段结合面实际接触面积为：
(24)
考虑摩擦因素影响下，第二弹塑性变形阶段结合面实际接触面积为：
(25)
考虑摩擦因素影响下，完全塑性变形阶段结合面实际接触面积为：
(26)
于是，考虑摩擦因素影响下，加载过程结合面实际接触面积为：
.
(27)
2) 结合面实际接触载荷
考虑摩擦因素情况下，结合面在加载过程中实际接触载荷为：
Fμr=Fμre+Fμrep1+Fμrep2+Fμrp.
(28)
式中考虑摩擦因素影响下，弹性变形阶段结合面实际接触载荷为：
(29)
考虑摩擦因素影响下，第一弹塑性变形阶段结合面实际接触载荷为：
(30)
将式(5)代入式(30)得：
(31)
考虑摩擦因素影响下，第二弹塑性变形阶段结合面实际接触载荷为：
(32)
将式(5)代入式(32)得：
(33)
考虑摩擦因素影响下，完全塑性变形阶段结合面实际接触载荷为：
(34)
将式(5)、(13)代入式(34)得：
(35)
2.2 卸载过程
定义结合面微凸体分布密度函数为：
(36)
式中：C为卸载过程粗糙表面微凸体分布密度函数修正系数；
为卸载过程结合面最大接触面积。
2.2.1结合面实际接触面积
当微凸体可能发生弹性变形、第一弹塑性变形、第二弹塑性变形时，对结合面进行卸载的过程中结合面实际接触面积为：
(37)
假设微凸体在各个变形阶段分布密度函数修正系数分别为：Ce、Cep1、Cep2，根据理论上加载结束时与卸载开始时结合面真实接触面积相等有如下关系式：
由此可得：Ce=1 .
(38)
(39)
Cep2=
(40)
考虑摩擦因素影响下，卸载过程弹性变形阶段结合面实际接触面积为：
(41)
考虑摩擦因素影响下，卸载过程第一弹塑性变形阶段结合面实际接触面积为：
(42)
考虑摩擦因素影响下，卸载过程第二弹塑性变形阶段结合面实际接触面积为：
(43)
2.2.2结合面实际接触载荷
当微凸体可能发生弹性变形、第一弹塑性变形、第二弹塑性变形时，对结合面进行卸载的过程中结合面实际接触载荷为：
(44)
(45)
(46)
假设结合面在各个变形阶段接触载荷修正系数分别为：De、Dep1、Dep2，根据理论上加载结束时与卸载开始时结合面真实接触载荷相等有如下关系式：
(47)
根据式(47)有：
(48)
可得：De=0.353 6.
同理可得：
Dep1=
(49)
(50)
从而推导出第一、第二弹塑性变形阶段结合面接触载荷：
(51)
(52)
3 结果分析和验证
取如下参数对上述模型进行仿真分析，等效弹性模量E′=7.2×1010N/m2；泊松比υ=0.17；硬度H=5.5×109N/m2；轮廓尺度参数G=2.5×10-9m；分形维数1<D<2.
图2所示为分形维数对加/卸载过程中结合面接触载荷与接触面积关系的影响曲线，加/卸载曲线只在起始点会有部分交集，其他阶段均未有重叠，这也说明结合面的弹性变形量在总的变形量中所占比重较小，结合面在变形过程中表现为非弹性变形。随着变形量和接触面积的增大，弹塑性变形在总变形量中的比重也随之增大。而在分形理论模型中，分形维数对结合面接触载荷和接触面积的关系有一定影响，相同接触面积情况下，随着分形维数的增大，接触载荷同时增大。图3所示为轮廓尺度参数对加/卸载过程中结合面接触载荷与接触面积关系的影响曲线。由图可见随着轮廓尺度参数的增大对结合面加/卸载过程的影响幅度增大，卸载真实面积与加载真实面积差值增大。通过图2和图3可以看出本文所建立的分形模型仿真曲线与Kadin统计模型[7]以及文献[17]所建模型的计算结果趋势一致，从而验证了本文分形模型的可行性。
图2 分形维数对加/卸载过程结合面接触载荷
与接触面积关系的影响
Fig.2 The influence of fractal dimension on the relationship
between contact area and contact load of joint
interface during loading and unloading
图3 当D=1.5时，轮廓尺度参数对加/卸载过程结合面
接触载荷与接触面积关系的影响
Fig.3 WhenD=1.5, the influence of contour scale parameters
on the relationship between contact load and contact area of
joint interface during loading and unloading
4 结论
本文考虑微凸体在弹塑性变形两个阶段摩擦因素对接触面积和接触载荷的影响，建立一种新的结合面加/卸载过程接触面积和接触载荷分形理论模型，得出如下结论：
1) 基于分形理论并考虑结合面第一弹塑性接触、第二弹塑性接触两个弹塑性变形阶段的情形，分别建立考虑摩擦因素影响情况下单个微凸体加载过程接触面积、接触载荷分形理论模型。
2) 研究卸载过程中摩擦因素对微凸体接触面积、接触载荷的影响，得出卸载过程单个微凸体接触面积、接触载荷分形理论模型。
3) 引入结合面在各个变形阶段分布密度函数修正系数Ce、Cep1、Cep2，接触载荷修正系数De、Dep1、Dep2，并根据边界条件分别进行求值。
4) 推导考虑摩擦因素情况下结合面在各变形阶段加卸载过程实际接触面积、接触载荷分形理论模型。根据该模型，结合面加卸载过程实际接触面积、接触载荷与摩擦力修正因子kμ、屈服极限σs、等效弹性模量E′、轮廓参数G、分形维数D、粗糙表面频率参数γn有关，而结合面在卸载过程实际接触面积、接触载荷还与最大变形量及卸载后残余变形量有关。
附 录：
参数名称表
ωec：微凸体由弹性到弹塑性变形临界变形量；
pc：微凸体出现初始屈服的临界平均接触压力；
ωμec：考虑摩擦因素时微凸体弹性临界变形量；
aμec：考虑摩擦因素时微凸体弹性临界接触面积；
fμec：考虑摩擦因素时微凸体弹性临界接触载荷；
fμep1、fμep2：考虑摩擦因素时加载过程微凸体发生第一、二弹塑性变形时的载荷；
aμepc、aμpc：考虑摩擦因素时加载过程微凸体第一、二弹塑性变形临界接触面积；
fμepc、fμpc：考虑摩擦因素时加载过程微凸体第一、二弹塑性变形临界接触载荷；
考虑摩擦因素时卸载过程微凸体第一、二弹塑性变形阶段接触载荷；
au：微凸体卸载过程接触面积；
ωu：微凸体卸载过程变形量；
ωres：卸载后微凸体的残余变形量；
ωmax：微凸体加载时最大变形量；
Aμre：考虑摩擦因素时弹性变形阶段结合面实际接触面积；
Aμrep1、Aμrep2考虑摩擦因素时第一、二弹塑性变形阶段结合面实际接触面积；
Aμrp：考虑摩擦因素时完全塑性变形阶段结合面实际接触面积；
Fμre：考虑摩擦因素时弹性变形阶段结合面实际接触载荷；
Fμrep1、Fμrep2：考虑摩擦因素时第一、二弹塑性变形阶段结合面实际接触载荷；
Fμrp：考虑摩擦因素时完全塑性变形阶段结合面实际接触载荷；
Ce：微凸体在弹性变形阶段分布密度函数修正系数；
Cep1：微凸体在第一弹塑性变形阶段分布密度函数修正系数；
Cep2：微凸体在第二弹塑性变形阶段分布密度函数修正系数；
De：结合面在弹性变形阶段接触载荷修正系数；
Dep1：结合面在第一弹塑性变形阶段接触载荷修正系数；
Dep2：结合面在第二弹塑性变形阶段接触载荷修正系数；
考虑摩擦因素时卸载过程弹性变形阶段结合面实际接触面积；
考虑摩擦因素时卸载过程第一、二弹塑性变形阶段结合面实际接触面积；
考虑摩擦因素时卸载过程弹性变形阶段结合面实际接触载荷；
考虑摩擦因素时卸载过程第一、二弹塑性变形阶段结合面实际接触载荷。
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