实际震害、试验研究和数值模拟均表明：竖向地震动及其作用效应可对桥梁结构形成严重不利影响。1995年的日本阪神地震中，大量桥墩发生剪切破坏[1]。随后的试验表明：上述剪切破坏主要由竖向地震作用引起的桥墩轴力变化导致[2]。根据相关计算结果：竖向地震动引起的桥墩轴力变化影响桥墩滞回性能，并会加剧桥墩塑性区的变形[3]。特别地，在近断层竖向地震动影响下，桥墩轴力和桥梁体竖向挠度明显增大[4]。例如，针对某实际桥梁结构的计算表明[5]：竖向地震作用可使其空心桥墩的轴力增加90%以上。
对于桥梁上部结构，竖向地震动的不利影响亦非常显著。于向东等[6]分析了大跨简支钢桁梁桥-轨道系统的动力响应特征，结果显示：竖向地震激励可使桁架最大拉、压轴力分别增大1.5倍和0.8倍；邓子铭等[7]将轨道不平顺作为钢桁梁桥车桥系统的自激激励源，将地震作为外部激励，模拟了地震对车桥系统耦合振动的影响，其结果表明：竖向地震波对车桥系统的竖向振动、脱轨系数、轮重减载率和车体竖向加速度影响显著。KUNNATH et al[8]的计算表明：竖向地震动使得桥梁主梁跨中及负弯矩区的内力需求大幅增大，GULERCE et al[9]的计算结果证实了上述结论。
现阶段，精确计算竖向地震作用下桥梁结构的非线性地震反应，需采用增量动力分析(incremental dynamic analysis，IDA)方法[10]或云分析(cloud analysis，CA)方法[11]。由于上述方法涉及大量非线性时程分析计算，且需要合理遴选地震波并对计算结果进行统计分析，故难以普遍应用于量大面广的工程实践。相比之下，静力非线性分析方法(Pushover Analysis)以设计反应谱为基准，分析耗时短，计算结果清晰直观，更易且更宜被工程师掌握使用[12]。李宇等[13]考虑高阶振型影响，统计了与我国《铁路工程抗震设计规范》相应的强度折减系数谱和弹塑性需求谱，从而建立了可考虑高阶振型影响、适用于铁路高墩桥的能力谱方法。柳春光等[14]将基于能量平衡的Pushover方法应用于桥梁桥墩的抗震性能评估，其计算结果表明：该方法所得结果与非线性时程分析结果吻合良好。现阶段，除用于求解桥梁结构地震反应外，Pushover方法亦被用于分析桥梁结构的非线性承载行为。例如，李晓莉等[15]利用Pushover分析模拟桥台在主梁撞击下的水平力-位移关系，简涛等[16]则通过Pushover分析确定桥梁墩柱的损伤指标。
囿于对结构水平向非线性受力-变形关系(Pushover曲线)的依赖，Pushover方法难以应用于承受竖向地震作用的梁桥结构(尤其是上部结构)。近年来，XIANG et al[17]利用结构的整体刚度参数指标建立了拓展的模态Pushover分析方法，有效克服了上述问题，使得Pushover方法被拓展应用于拱[17]、网壳[18]和索网[19-20]等结构的非线性地震反应分析。基于该方法分析梁桥结构的竖向振动特性和竖向非线性地震反应，成为评估此类结构竖向抗震性能的有力手段之一。采用上述方法，将梁桥竖向非线性能力曲线与合理的竖向地震需求谱相结合，可快速确定梁桥在竖向地震作用下的目标位移。
在上述背景下，本文以钢梁桥作为切入点，首先分析此类结构在竖向地震作用下的非线性振动特点，建立适用于描述此类结构竖向振动的非线性简化模型；基于大量实际近场竖向强震记录，以竖向非线性位移系数作为地震需求指标，计算钢梁桥的竖向非线性位移需求，据此建立此类结构的竖向非线性位移系数谱(需求谱)；随后，为验证本文所建立的竖向非线性反应谱的适用性和准确性，给出一个钢桁架梁桥竖向非线性地震反应分析算例。本文所建立的竖向非线性位移系数谱方法，计算耗时短，所得结果准确度高，便于实际工程应用。
1 钢梁桥竖向地震反应分析简化模型
与水平地震作用下的结构振动反应不同，大跨度钢梁桥上部结构在竖向地震作用下的非线性振动呈现出明显的非对称性。该非对称性主要是由预加在结构上的重力作用导致。承受竖向地震作用之前，钢梁桥结构处于重力平衡状态，竖向地震激励施加于钢梁桥后，其上部结构以重力平衡状态为初始平衡位置开始振动。在竖向地震作用向下，地震作用效应与重力作用效应叠加，钢梁桥倾向于进入弹塑性状态；而当竖向地震作用向上时，地震作用与重力作用效应部分相抵，钢梁桥倾向于保持弹性。本质上，钢梁桥上的预加重力作用使得其在重力平衡位置“之上”和“之下”呈现出不同的等效屈服点和等效承载力，从而使得其竖向振动体现出非对称特点。
事实上，由预加重力作用导致的大跨度结构竖向地震反应的非对称性，已在建筑结构领域得到重视。XIANG et al[21-22]建立了大跨度钢屋盖和钢楼盖结构竖向振动的非对称滞回模型，并计算了此类模型的非线性位移需求谱。本质上，大跨度钢梁桥的竖向非线性地震反应与大型钢屋(楼)盖结构类似。例如，对于从重力平衡状态向上运动时的振动位形，竖向地震动伪加速度值需达到1.0g，方可克服钢梁桥上部结构的自重作用，使结构达到“重力作用卸除”状态。相对地，对于重力平衡位置之下的振动位形，伪加速度值为1.0g的竖向地震动与重力作用叠加，将使得钢梁桥承受约2.0g的等效重力荷载。当钢梁桥上运行有重型移动荷载时，较大的竖向地震作用极易使得钢梁桥上部结构在向下振动时进入弹塑性阶段；而由于重力作用的有利影响，结构在向上振动时，一般仍处于弹性阶段。
基于以上论述，可建立钢梁桥结构在竖向地震作用下的非线性滞回模型，如图1所示。图中，钢梁桥结构在重力平衡位置“之下”的振动反应为弹塑性，“之上”的振动反应为弹性，总体上，该体系呈现出明显的非对称滞回特点。由于本文的讨论限于钢梁桥结构，故假定结构的弹塑性滞回曲线不存在退化现象，在重力平衡位置“之下”的振动位形，结构的非线性等效荷载(Feq)-等效位移(deq)的关系为双折线型。
图1 钢梁桥竖向振动简化滞回模型
Fig.1 Simplified hysteresis model for the vertical vibration of steel beam bridge
2 近场竖向地震动
基于图1所示的钢梁桥竖向振动简化滞回模型，可结合实际竖向强震记录，计算钢梁桥的竖向非线性地震位移需求，进而对计算结果进行统计分析，提出相应的非线性位移系数谱模型。本文选取53条竖向强震记录作为钢梁桥结构竖向非线性位移需求的计算依据，所选取的所有竖向强震记录均为近断层地震地面运动时的竖向分量，记录台站距离震源的水平距离小于30 km.各竖向地震动记录的峰值竖向地面加速度(PGA)均大于0.14g，其中，最大竖向PGA值达0.82g.上述地震动数据源自日本NIED强震记录网站K-NET，限于篇幅，地震记录的详细信息不再列出。图2(a)给出了各竖向地震记录的震源-记录台站相对位置，即震中距、震源深度数据；图2(b)给出了各竖向强震记录的伪加速度反应谱，各反应谱阻尼比均为0.02.
图2 竖向强震记录
Fig.2 Strong vertical seismic records
3 竖向非线性位移系数谱
竖向地震作用下，钢梁桥的竖向非线性位移需求与其屈服强度、屈服后刚度、竖向弹性自振周期T有关。利用拓展的模态推覆分析方法[17]，针对钢梁桥的竖向振型，可将多自由度的钢梁桥计算模型转化为等效单自由度非线性体系模型，进一步地，可计算钢梁桥在竖向地震作用下的非线性反应。
3.1 计算流程及主要结果
本文以竖向非线性位移系数(inelastic displacement ratio，IDR)作为衡量钢梁桥竖向地震需求的指标，基于IDR-T格式的竖向非线性位移系数谱建立钢梁桥的竖向地震需求谱。为在计算钢梁桥竖向IDR值的过程中考虑结构竖向屈服强度和竖向屈服后刚度的影响，需定义一系列结构关键参数。本文所考虑的钢梁桥竖向非线性滞回模型的关键参数，包括弹性刚度ke、屈服后刚度kpy、弹性位移及力需求de及Fe、弹塑性位移及力需求dp及Fp、屈服强度及屈服位移Fy及dy，竖向强度折减系数R=Fy/Fe=dy/de.各参数定义如图3所示。图中各变量均为钢梁桥等效单自由度体系参数。
图3 钢梁桥竖向滞回模型关键参数
Fig.3 Key parameters of the vertical hysteresis model for steel beam bridges
基于所定义的参数，制定以下(1)、(2)两步IDR计算步骤：
1) 基于图1给出的非线性滞回模型，选定结构竖向强度折减系数R、屈服后刚度系数α和弹性竖向自振周期T，计算体系在53条竖向强震记录作用下的弹性位移需求de和弹塑性位移需求dp，并依据式(1)计算体系竖向IDR值：
(1)
2) 调整体系R、α和T值，计算参数变动后的体系竖向位移需求de和dp，并据此进一步计算相应的IDR值。
本文共考虑6种竖向强度折减系数值，分别为R=0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8；6种竖向屈服后刚度系数值，分别为α=0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6；所考虑的体系弹性自振周期T的变化范围为T=0.05～2.75 s，周期间隔0.05 s，共55个值。结合53条地震动记录，本文共计算了6×6×55×53=104 940个钢梁桥竖向IDR值。
上述非线性位移需求均基于Newmark-β积分法求得。需要说明的是：由于钢梁桥竖向非线性滞回模型的非对称特征，在运用Newmark-β法进行非线性时程积分计算时，需对该算法中“确定系统当前状态”的步骤进行修正(相关列式见本文附录)，使得所求出的体系位移反应和滞回特征与实际状况相符。上述Newmark-β积分算法在Matlab程序平台实现，限于篇幅，算法程序及其验证算例从略。
为综合考量R和α对钢梁桥竖向IDR值的影响，图4和图5给出了基于53条竖向强震记录计算得到的竖向IDR-T谱的部分结果，包括对应于各单条地震动记录的IDR-T谱(灰线)和均值IDR-T谱(红线)。图4列出了与α=0.1对应的6组竖向IDR谱，各子图的R值从0.3增至0.8.显然，R值越大，体系屈服强度相对于弹性强度需求越高，其对应的非线性位移需求就越低，相应地，IDR值随R值增加而降低。图5列出了与R=0.5对应的5组竖向IDR谱，各子图的α值从0.2增至0.6.结合图4(c)可见：α值越大，体系屈服后刚度越大，其非线性位移需求(IDR值)越低。
图4 强度折减系数对钢梁桥竖向IDR谱的影响(α=0.1)
Fig.4 Effect of strength reduction factor on the vertical IDR spectra for steel beam bridges (α=0.1)
图5 屈服后刚度系数对钢梁桥竖向IDR谱的影响(R=0.5)
Fig.5 Effect of post-yield stiffness ratio on the vertical IDR spectra for steel beam bridges (R=0.5)
3.2 竖向非线性位移系数谱公式
与6个R值和6个α值对应，本文共计算得到36组竖向IDR-T谱，各组谱线的均值可直接用于归纳钢梁桥结构在竖向地震作用下的IDR谱表达式。根据计算结果，竖向IDR谱在短周期段(0<T≤0.5 s)呈现出明显的非线性特点：T越小，IDR值越大，且二者近似呈指数关系；在中长周期段(0.5 s<T≤2.5 s)，IDR值与T近似呈线性关系。鉴于上述特点，本文提出钢梁桥竖向地震作用下的非线性位移系数谱拟合公式，即式(2)：
(2)
式中：A、B为短周期段(非线性段)拟合系数，C、D为中长周期段(线性段)拟合系数。与各组R和α相对应，各拟合系数值列于表1.实际应用中，钢梁桥非线性单自由度模型的竖向R和α值一般与表中所列情况不等，此时可通过对表中所列数据线性插值得到公式(2)中的系数取值，从而确定IDR值。
表1 钢梁桥竖向IDR公式拟合系数
Table 1 Fitting coefficients of the vertical IDR formula for steel beam bridges
拟合系数R=0.3R=0.4R=0.5R=0.6R=0.7R=0.8α=0.1A=0.953 4B=1.048 2C=-0.240 3D=2.172 3A=0.594 8B=1.039 8C=-0.163 3D=1.757 7A=0.340 1B=1.030 2C=-0.104 6D=1.453 7A=0.168 8B=1.020 2C=-0.063 0D=1.241 1A=0.059 2B=1.011 5C=-0.034 1D=1.099 4A=-0.000 9B=1.004 9C=-0.018 3D=1.018 0α=0.2A=0.629 6B=1.028 4C=-0.140 5D=1.757 5A=0.415 2B=1.023 9C=-0.104 8D=1.515 9A=0.247 8B=1.018 5C=-0.073 6D=1.321 9A=0.127 7B=1.013 0C=-0.048 3D=1.178 0A=0.044 0B=1.008 0C=-0.028 9D=1.074 6A=-0.005 1B=1.003 6C=-0.016 8D=1.010 5α=0.3A=0.440 0B=1.018 5C=-0.092 0D=1.523 4A=0.297 9B=1.015 7C=-0.073 0D=1.366 0A=0.182 5B=1.012 5C=-0.054 5D=1.235 0A=0.091 2B=1.009 0C=-0.036 9D=1.127 7A=0.029 8B=1.005 8C=-0.024 5D=1.053 7A=-0.008 9B=1.002 7C=-0.015 8D=1.004 4α=0.4A=0.313 1B=1.012 6C=-0.065 8D=1.371 3A=0.213 9B=1.010 8C=-0.053 6D=1.262 4A=0.130 8B=1.008 8C=-0.041 2D=1.169 1A=0.065 4B=1.006 6C=-0.030 3D=1.093 8A=0.018 0B=1.004 2C=-0.021 6D=1.037 2A=-0.012 6B=1.002 0C=-0.014 8D=0.998 8α=0.5A=0.220 4B=1.008 6C=-0.048 7D=1.262 0A=0.149 9B=1.007 6C=-0.040 4D=1.185 4A=0.090 4B=1.006 3C=-0.032 3D=1.119 1A=0.043 1B=1.004 7C=-0.025 3D=1.065 2A=0.007 6B=1.003 0C=-0.018 9D=1.023 1A=-0.016 0B=1.001 4C=-0.013 9D=0.993 7α=0.6A=0.148 8B=1.005 8C=-0.036 5D=1.178 7A=0.103 4B=1.005 3C=-0.032 7D=1.130 3A=0.058 1B=1.004 3C=-0.026 2D=1.079 8A=0.024 3B=1.003 2C=-0.021 2D=1.041 3A=-0.001 5B=1.002 0C=-0.016 7D=1.010 8A=-0.019 0B=1.000 9C=-0.013 2D=0.989 4
为证明公式(2)对钢梁桥竖向IDR-T谱的拟合精度，图6列出了基于实际地震动记录计算得到的36组竖向IDR-T均值谱及其对应的拟合谱(由公式(2)给出)。由图可见，公式(2)对实际IDR-T谱的拟合精度较高，实际IDR-T均值谱与其拟合谱的偏差较小。在短周期段和中长周期段，公式(2)分别较准确地还原了实际IDR-T均值谱的非线性和线性特征。
4 基于IDR-T的钢梁桥竖向地震反应分析
至此，可将拓展的模态推覆分析(Pushover)方法和本文给出的竖向IDR谱公式结合起来，估算钢梁桥在竖向地震作用下的非线性反应，所得结果可直接用于指导钢梁桥抗震设计和抗震性能评估。为便于应用，本节将上述分析方法的基本计算流程加以梳理：
1) 对钢梁桥结构实施模态分析，依据质量参与系数，遴选其竖向主振型。一般情况下，钢梁桥的竖向第1阶振型为其竖向主振型，结构在竖向地震作用下的反应将由第1阶振型主导。
2) 依据拓展的模态推覆分析方法[17]，结合钢梁桥竖向主振型，实施推覆分析。需要注意的是，推覆分析的起始位置应为梁桥重力平衡位置。鉴于钢梁桥竖向振动的不对称性，其非弹性地震反应均出现在重力平衡位置“之下”的振动位形上，故推覆分析应自重力平衡位置始，确定推覆荷载方向，对梁桥实施向下推覆加载分析，并依据所得数据建立钢梁桥结构的竖向振动等效单自由度体系模型。
3) 依据所得非线性单自由度模型和设计反应谱，确定钢梁桥竖向屈服后刚度系数α和强度折减系数R，结合其竖向主振型自振周期T，依据本文公式(2)计算其非线性位移系数需求(IDR值)。在此步骤中，一般需先预估结构峰值反应，以便裁出用于确定屈服后刚度系数的竖向推覆曲线的范围。依据经典但粗糙的“等位移原理[23]”，可先假定结构峰值弹塑性位移反应与峰值弹性位移反应相等(dp≈de)，在此假设下，截取竖向推覆分析曲线的相应范围，即可据此确定结构的屈服后刚度系数。
4) 依据IDR值和公式(1)，计算钢梁桥等效单自由度体系非线性目标位移dp，依据竖向推覆分析结果，计算与dp对应的结构整体竖向地震反应。
图6 钢梁桥竖向IDR谱拟合公式精度示意
Fig.6 Illustration of accuracy of fitting formula of the vertical IDR spectra for steel beam bridges
由于上述计算过程不涉及非线性时程分析，故效率很高。同时，上述过程步骤清晰，概念直观，非常便于工程师运用。
5 数值算例
为验证本文所建立的竖向非线性位移系数法的计算精度和效率，并演示该方法分析流程，本节给出一个数值算例。
5.1 结构模型
算例所用钢梁桥为桁架梁桥，两端简支，由4榀纵向主桁架和13榀横向支撑桁架构成，主桁架上弦设置面内横向交叉支撑。梁桥跨度42 m，宽16 m.梁桥上附荷载由混凝土面板、路基面层、部分移动活载等构成。梁桥的几何尺寸、平面布置及节点等效集中质量如图7所示。梁桥由H型钢拼装构成，其构件布置如图8所示。
图7 钢梁桥几何尺寸、平面布置及节点等效集中质量
Fig.7 Geometry, planar arrangement and equivalent nodal mass of the steel beam bridge
图8 钢梁桥构件布置
Fig.8 Member arrangement of steel beam bridge
钢梁桥模型在ANSYS有限元平台内建立，型钢构件和节点集中质量分别采用beam189单元和mass21单元模拟。钢材非线性滞回本构关系由文献[24]中所标定的公式(4)模拟。结构阻尼采用Rayleigh阻尼模型模拟，各阶振型阻尼比均设为0.02.在重力平衡状态对结构进行自振特性分析，依据分析结果，钢梁桥第1阶振型的竖向质量参与系数达到84.66%，为竖向主振型。该振型周期为T1=0.40 s，其振型形态如图9所示。
图9 钢梁桥竖向主振型
Fig.9 Vertical dominant vibrating mode of the steel beam bridge
5.2 竖向推覆分析
依据钢梁桥主振型对应的荷载模式，采用文献[17]建立的拓展模态推覆分析方法对钢梁桥进行竖向静力推覆分析，可建立结构主振型等效单自由度体系的等效荷载-位移关系，如图10(a)所示。由图可见，由于预加重力效应，当静力推覆荷载方向向下时，钢梁桥等效单自由度体系在deq≈-40 mm时即进入塑性阶段，而当静力推覆荷载方向向上时，结构等效单自由度体系在deq≈110 mm仍保持弹性。将图10(a)所示等效单自由度体系的等效荷载-位移曲线双折线化，可得该体系等效屈服位移deq,y=-40 mm.双折线化荷载-位移曲线如图10(b)所示，由图中数据可求得等效单自由度体系屈服后的刚度系数α：
(3)
图10 钢梁桥竖向推覆分析曲线
Fig.10 Vertical pushover curve of steel beam bridge
5.3 竖向推覆分析
选择5条竖向强震记录作为地震激励。所选竖向地震波的伪加速度反应谱如图11所示。需要说明的是：该5条地震波不在本文第2节所选的53条竖向近场地震记录之中。分析中，对地震动实施了缩放。经缩放，各竖向地震动伪加速度反应谱对应T1=0.40 s的谱值为2.0g.
图11 竖向地震动伪加速度反应谱(缩放后)
Fig.11 Pseudo acceleration response spectra of vertical seismic records (amplified)
在T1=0.40 s处，缩放后的地震动输入所对应的弹性位移需求为deq,e=79.4 mm，故钢梁桥等效单自由度体系的竖向强度折减系数为：
(4)
注意到T1=0.40 s<0.50 s，R=0.504，α=0.204，结合式(2)，可计算得到与上述数据对应的钢梁桥结构等效单自由度体系竖向IDR值：
(5)
式中：A、B数值系通过对表1所列数值线性内插得到。基于IDR值和等效单自由度体系弹性位移需求，可求得其峰值非线性位移需求：
deq,p=IDR·deq,e=1.286×79.4 mm=102.1 mm .
(6)
依据等效单自由度体系峰值位移需求deq,p，可进一步得出钢梁桥结构整体峰值位移反应。
5.4 计算结果对比
为验证竖向非线性位移系数法的计算精度，本节将竖向IDR谱分析结果与非线性时程分析结果进行对比。图12绘出了采用竖向非线性位移系数法和非线性时程分析法计算得到的钢梁桥上弦节点峰值竖向位移。由图可见：基于IDR方法计算得到的钢梁桥峰值竖向位移模式与非线性时程分析方法一致，数值上，IDR方法计算结果稍高于非线性时程分析结果，但二者偏差很小。以结构跨中节点竖向位移为例：对应竖向地震激励VSE-1～VSE-5，基于竖向IDR谱得到的位移峰值相对于时程分析结果的误差分别为：7.30%,10.15%,4.49%,9.62%和6.36%.
图12 采用IDR法与非线性时程分析法得到的竖向位移反应峰值
Fig.12 Peak vertical displacement responses given by the IDR method and the nonlinear RHA approach
与节点位移反应对应，关于钢桁梁的屈服构件数量及分布位置，IDR方法的计算结果也与非线性时程分析结果一致，限于篇幅，不再详列。
6 结论
1) 在竖向地震作用下，钢梁桥自重力平衡位置向下振动时，地震作用效应与重力作用效应叠加，钢梁桥倾向于进入弹塑性阶段；自重力平衡位置向上振动时，地震作用与重力作用效应部分相抵，钢梁桥倾向于保持弹性。据此，建立了钢梁桥竖向振动的非对称滞回模型。
2) 基于所建立的竖向非对称滞回模型，采用53条近场竖向强震记录(大震)和自编非线性动力反应分析程序，计算了钢梁桥在竖向地震作用下的弹塑性位移需求。结果表明：钢梁桥等效竖向屈服强度越高，或其屈服后刚度系数越高，钢梁桥的弹塑性位移需求越低，且该需求的离散性越小。
3) 基于计算结果，拟合得到了钢梁桥在竖向地震作用下的弹塑性位移系数公式。
4) 给出了结合竖向静力推覆分析和竖向非线性位移系数公式的钢梁桥弹塑性地震反应分析流程，可据此快速求得钢梁桥在竖向地震动(大震)作用下的弹塑性地震反应。
5) 采用所建立的竖向非线性位移系数法计算一个钢桁架梁桥在竖向地震作用下的弹塑性反应，所得结果与时程分析结果吻合良好。
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