地下开采是一个复杂的动态平衡过程，对其进行动态预测不仅可以实时掌握各个点的变形程度及位置，还可为构(建)筑物的保护提供可靠的数据支撑。目前我国使用的预测方法主要是概率积分法，但是概率积分法适用于静态预计及地表移动变形稳定后的沉陷监测，无法动态化的表述变形过程。
动态预计的函数主要有：Knothe时间函数、Weibull时间函数、双曲线时间函数、Gompertz时间函数、Logistic时间函数、正态分布时间函数等。我国主要采用Knothe时间函数，而研究发现其不太符合实际地表下沉[1-2]；常占强等[3]提出了分段Knothe时间函数，提高了预测精度；张兵等[4-5]对分段Knothe时间函数进行了优化，解决了关键点理论误差以及终点无法收敛于1的问题，进一步提高了精度；刘玉成等[6-7]针对Knothe时间函数存在的不足，提出了幂指数Knothe时间函数模型；为了解决分段Knothe函数的时间影响系数c等参数为固定值的问题，郭旭炜等[8]对其进行改进，提出了一种新的分段Knothe时间函数；刘玉成等[9]将Weibull时间函数与概率积分法结合，证明Weibull时间函数可以较好地表述测点下沉过程；王小华等[10]将Weibull时间函数与负指数法进行结合，推导出了地表下沉、倾斜、曲率、水平移动、水平变形等公式，并通过实例进行验证，结果表明两者具有很好的一致性。在日常实际应用中，笔者发现Weibull时间函数在动态预计过程中存在一些不足：曲线初始期与实际下沉轨迹不一致；关键节点函数值与理论值不符。本文使用分段函数思想对该函数优化，构建了一种精度更高、更符合实际的分段Weibull时间函数，以山西某矿3214工作面实测数据为例对优化后的分段Weibull时间函数进行了精度验证，并与Weibull时间函数、Knothe时间函数和优化后的分段Knothe时间函数[4]进行了对比分析。
1 Weibull时间函数及其分析
1.1 Weibull时间函数
地下开采引起的地表点移动变形是一个复杂的四维变化过程，在Knothe时间函数的基础上，对t增加一个幂指数k能够更好地描述此过程，也就是文献[10]中提到的Weibull时间函数，函数模型如下：
Wt=Wm(1-e-ctk) .
(1)
式中：Wm为沉陷点稳定后的最大沉降量，mm；t为沉陷时间；c、k都是与采空区上覆岩层地质条件有关的参数。
对式(1)求导可得沉陷点下沉速度的函数模型为：
vt=Wmcktk-1e-ctk.
(2)
对式(2)求导可得沉陷点加速度的函数模型为：
at=Wmcke-ctk[(k-1)tk-2-ckt2(k-1)] .
(3)
令式(3)等于0，解出
(4)
结合式(1)-式(4)，做出Weibull时间函数模型的下沉、下沉速度以及下沉加速度的曲线图，如图1所示。
图1 Weibull函数下沉、下沉速度和下沉加速度曲线图
Fig.1 Weibull function subsidence, subsidence velocity, and subsidence acceleration curve
由图1可知，Weibull函数模型在t=0时刻，沉陷值、下沉速度、加速度都为0；在(0，t0)时间段，沉陷值和下沉速度持续增加，加速度为大于0的正数；在(t0，∞)时间段，沉陷值继续增加，下沉速度减小至0，加速度为小于0的负数；在t=∞时刻，沉陷值达到最大，下沉速度、加速度都为0.沉陷点的下沉速度由0→vmax→0变化，加速度由0→+amax→0→-amax→0变化，与实际变化过程相符，且大致呈S型分布，证明能够用于沉陷区的动态预测。
1.2 Weibull时间函数在动态预测中的局限性
利用Weibull时间函数对山西某矿3214工作面实测下沉曲线进行拟合，Weibull函数拟合出的沉陷点下沉过程与实测曲线相差较大，与实际不符，如图2所示。表明Weibull时间函数模型无法准确表述地表下沉的变化情况。分析其原因如下：
1) 从图2来看，这个函数的主要问题是初始期没有斜率变大的阶段，这就导致地表沉陷点的预测值提升过快，而实际上当地下开采产生的影响波及到地表点之后，地表点的沉陷值是缓慢增加的，在图像上则表现为初始斜率较小且斜率逐渐增长，经过一段时间，地表点的下沉速度(图像斜率)达到最大，再往后逐渐减小到0，直至地表趋于稳定状态。
2) Weibull时间函数在下沉开始和下沉结束时刻的函数值等于0和1，符合实际情况，但在其他关键点(如下沉速度最大时刻)处的函数值与理论值不符。
图2 Weibull函数预测下沉与实测下沉对比图
Fig.2 Comparison diagram of Weibull function’s predicted subsidence and measured subsidence
2 分段Weibull时间函数
2.1 动态预计分段Weibull时间函数的建立
针对上述Weibull时间函数的局限性，笔者利用常占强等[3]提出的分段函数思想，将沉陷点的下沉过程分为加速下沉和减速下沉两个阶段，假设其在时序上和数值上是相等的，以沉陷点的最大下沉速度时刻τ(以d为单位)为分界点，对这两个阶段分别建模，并结合偏差改正、生长函数模型等手段消除理论误差，提出了一种新的、精度更高的分段Weibull时间函数：
(5)
式中：t为沉陷时间；τ为沉陷点最大下沉速度时刻；T为沉陷总时间；c为时间影响系数；k为幂指数参数，与上覆岩层地质条件有关。
对式(5)求一阶导可得沉陷点下沉速度的函数模型为：
(6)
化简得：
(7)
对式(5)求二阶导可得沉陷点加速度的函数模型为：
(8)
化简得：
(9)
根据上述函数模型，令Wm=1，绘制出在τ=200 d时分段Weibull时间函数下沉曲线、下沉速度曲线、下沉加速度曲线如图3、4所示。图3中下沉曲线表明，曲线初始期斜率逐渐增加，衰退期斜率逐渐减小，沉陷值处于0～1之间，斜率最大处即最大下沉速度时刻函数值为0.5Wm，形态与理想时间函数基本一致；下沉速度曲线图中，下沉速度经历了0→vmax→0变化过程，且在活跃期速度增加迅速；从图4下沉加速度曲线可以看出，下沉加速度趋势符合实际情况，在t=0到t=τ时间段，从0增加到+amax，在t=τ到t=T时间段，从-amax减小到0，但分布情况与实际不符，初始期和衰退期加速度为0的过程较长，加速度变化较快，缩减了变形时间，表明其地表点移动具有突发性。综上所述，分段Weibull时间函数模型符合理想时间函数具有的特征，能够真实客观地反映地形切割强烈的黄土丘陵地区地表点的下沉过程。
图3 修正后下沉、下沉速度曲线
Fig.3 Corrected subsidence and subsidence velocity curves
图4 修正后下沉加速度曲线
Fig.4 Corrected subsidence acceleration curve
2.2 最大下沉速度时刻τ
最大下沉速度时刻τ是指以首次观测时刻或工作面开始回采时刻为起点，沉陷范围内地表点达到最大下沉速度时所经历的时间差。
以每一期沉陷值与其最大值的比值(即下沉系数)为纵坐标，沉陷时间为横坐标，绘制下沉系数关于沉陷时间的函数曲线。依据分段思想，沉陷值在τ时刻即下沉速度最大时刻沉陷值为0.5Wm，由此可确定函数图像上纵坐标为0.5所对应的横坐标值即为τ.图5中，以山西某矿33K2工作面A18号点为例，依据上述方法求取的τ值为113 d，但由于该矿区属于山西丘陵黄土地区，实际上下沉速度最大时刻τ为118 d，两者略有差别，使用两个τ值分别进行预测，计算它们的相对误差，发现只有0.45%的偏差，对预测结果影响较小，表明使用上述方法求取τ值符合沉陷区动态预计的精度要求。
图5τ的确定
Fig.5 Determination ofτ
求出本文研究矿区3214，3215等5个工作面各个地表点对应的τ值，分析发现其与距开切眼距离x(即采动程度)存在多项式关系，对τ和x进行回归分析，得到相关性较好的回归方程：
τ=3.022 7×10-4×x2+0.178 7x+110.628 9 .
(10)
利用上述回归方程，即可预测出地表任意点最大下沉速度时刻τ值。
图6τ关于x的回归方程
Fig.6 Regression equation ofτwith respect tox
2.3 参数确定
研究表明，在深厚比较大(一般大于30)的情况下，地下开采引起的地表动态移动变形具有明显的连续性，且开采沉陷预计模型参数与地质采矿条件有着密不可分的关系[11-14]，具有各向异性，因此在时间影响系数c和幂指数参数k两个参数调控下，动态预计模型的精度会更高。
2.3.1时间影响系数c
上覆岩块硬度越大，深厚比越小，岩块的碎涨系数越小，相应的时间影响系数c也就越小；反之越大。开采动态预计模型具有相似推广性，因此在相同地质条件下，时间影响系数c可用经验类比法确定，也可用以下公式计算[15-16]：
(11)
(12)
式中：P为覆岩参数；H为开采深度，m；h为松散层厚度，m；γ为覆岩平均容重，kg/m3；E为覆岩平均弹性模量，MPa；σt为覆岩平均抗拉强度，MPa；υ为覆岩平均泊松比。
2.3.2幂指数参数k
假定Wm为单位值，令τ=200 d，绘制不同k对应的下沉曲线见图7.由图7可知，在时间影响系数c取定值的情况下，参数k控制预计点的变形路径，与起止大小无关，显然，这样更能客观地描述开采动态过程。依据经验类比或上述公式确定好时间影响系数c后，用最小二乘法拟合幂指数参数k，如果存在足够的实测数据，也可通过类比确定k值。
图7 参数k对下沉曲线的影响
Fig.7 Influence of parameterkon the subsidence curve
3 实例验证
山西某矿3214工作面地面位于丘陵地带，地形复杂，切割强烈，大部分被黄土覆盖，且黄土冲沟发育，基岩在较大的黄土冲沟中出露，测区范围内北高南低最大高差达120 m，东西方向地势平缓，3214工作面走向长1 214 m，倾向长156 m，煤层平均厚度1.98 m，平均倾角5.5 °，平均开采深度535.5 m，开采速度为2.5 m/d，开采方法为走向长壁后退式采煤方法。
3.1 单点实例验证
为验证优化后Weibull时间函数模型的适用性，以3214工作面走向观测线上的最大下沉点C39号点为研究对象，利用上述4种时间函数对其随时间变化情况分别进行动态预计，预计时通过回归方程求得C39号点对应的最大下沉速度时刻τ=230 d，模型参数的选取采用最小二乘拟合法，确定出分段Weibull时间函数的参数c=0.000 4，k=1.67，Weibull时间函数的参数c=0.000 4，k=1.67，Knothe时间函数的参数c=0.02.预计结果如图8所示。
图8 最大下沉点C39号点预测对比
Fig.8 Prediction comparison of the maximum subsidence point C39
从图8可以看出，分段Weibull时间函数预测的下沉曲线与实测下沉曲线最为接近，优化后的分段Knothe时间函数次之，未优化的Weibull时间函数和Knothe时间函数拟合度最差，为了定量分析4种函数模型预测的准确性，利用式(13)、(14)计算均方误差m和相对误差f，将其作为精度评定的指标，见表1.
(13)
(14)
式中：d为地面点预测沉陷值与实测沉陷值之差；n为观测次数；Wm为沉陷点稳定后的最大沉降量，mm.
表1 不同时间函数精度对比
Table 1 Accuracy comparison of different time functions
点号时间函数均方误差/mm相对误差/%C39分段Weibull14.451.48分段Knothe48.404.95Weibull415.8842.57Knothe512.9852.51
通过表1可知，采用分段Knothe时间函数、Weibull、Knothe时间函数进行预测的相对误差分别为4.95%、42.57%、52.51%，而采用分段Weibull时间函数进行预测，相对误差为1.48%，由此可见，使用分段Weibull时间函数进行动态预计具有更高的适用性。
3.2 主断面实例验证
为了进一步验证优化后Weibull时间函数模型的可靠性，采用分段Weibull时间函数对3214工作面走向主断面进行预计，对比分析实际测量值与预计结果，如图9所示。为确定预计精度，分别计算11期测量值和预测值之间的均方误差和相对误差，结果见表2.对走向主断面而言，最大均方误差为7.61 mm，最大相对误差为5.25%，表明预计曲线与实测曲线高度一致，且最终预计值与实测最大下沉值相差很小，更直接地证实了本文所提出的分段Weibull时间函数模型的可靠性。
图9 走向主断面动态预计对比
Fig.9 Dynamic comparison of strike main section
表2 走向主断面精度分析
Table 2 Accuracy analysis of strike main section
观测次数均方误差/mm相对误差/%观测次数均方误差/mm相对误差/%111.815.25720.992.25214.143.40817.171.81315.433.10917.611.80413.331.891016.481.69514.101.781113.881.42613.311.50---
4 结论
本文在Weibull时间函数的基础上，建立了分段Weibull时间函数模型，结合工程实例验证了本模型的可靠性，并得出以下结论：
1) Weibull时间函数预测开采沉陷，其下沉值、下沉速度、下沉加速度等物理量的变化比较符合实际动态下沉过程，但是存在一定的局限性：下沉曲线在初始期斜率变化太快，在最大下沉速度时刻处的函数值不为0.5.
2) 提出分段Weibull时间函数，优化后函数的下沉、下沉速度和下沉加速度曲线形态符合理想时间函数特征，利用图解法求取最大下沉速度时刻τ，建立了τ与距开切眼距离x的回归方程，并对岩性参数c和k的确定方法进行了探讨。
3) 利用优化后的Weibull时间函数对山西某矿3214工作面的最大下沉点进行预测，将预测结果与Weibull、Knothe、优化后分段Knothe时间函数的预测值及实测值进行对比，发现优化后Weibull时间函数的预测精度分别提高了41.09%、51.03%和3.47%；对比分析了3214工作面走向主断面的11次预测结果和实测值，最大相对误差为5.25%，表明本文函数模型能够很好地预测地表动态下沉，进一步证明了分段Weibull时间函数模型的适用性和可靠性。
[1] CUI X,WANG J,LIU Y.Prediction of progressive surface subsidence above longwall coal mining using a time function[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences,2001,38(7):1057-1063.
[2] 崔希民,缪协新,赵英利,等.论地表移动过程的时间函数[J].煤炭学报,1999,24(5):453-455.
CUI X M,MIU X X,ZHAO Y L,et al.Discussion on the time function of time dependent surface movement[J].Journal of China Coal Society,1999,24(5):453-455.
[3] 常占强,王金庄.关于地表点下沉时间函数的研究——改进的克诺特时间函数[J].岩石力学与工程学报,2003,22(9):1496-1499.
CHANG Z Q,WANG J Z.Study on time function of subsidence:the improved knothe time function[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2003,22(9):1496-1499.
[4] 张兵,崔希民.开采沉陷动态预计的分段Knothe时间函数模型优化[J].岩土力学,2017,38(2):541-548.
ZHANG B,CUI X M.Optimization of segmented Knothe time unction model for dynamic prediction of mining subsidence[J].Rock and Soil Mechanics,2017,38(2):541-548.
[5] 张兵,崔希民,赵玉玲,等.优化分段Knothe时间函数求参方法[J].煤炭学报,2018,43(12):3379-3386.
ZHANG B,CUI X M,ZHAO Y L,et al.Parameter calculation method for optimized segmented Knothe time function[J].Journal of China Coal Society,2018,43(12):3379-3386.
[6] 刘玉成,庄艳华.地下采矿引起的地表下沉的动态过程模型[J].岩土力学,2009,30(11):3406-3411.
LIU Y C,ZHUANG Y H.Model for dynamic process of ground surface subsidence due to underground mining[J].Rock and Soil Mechanics,2009,30(11):3406-3411.
[7] 刘玉成,曹树刚,刘延保.可描述地表沉陷动态过程的时间函数模型探讨[J].岩土力学,2010,31(3):925-931.
LIU Y C,CAO S G,LIU Y B.Discussion on some time functions for describing dynamic course of surface subsidence due to mining[J].Rock and Soil Mechanics,2001,31(3):925-931.
[8] 郭旭炜,杨晓琴,柴双武.分段Knothe函数优化及其动态求参[J].岩土力学,2020,41(6):2091-2097,2109.
GUO X W,YANG X Q,CHAI S W.Optimization of the segmented Knothe function and its dynamic parameter calculation[J].Rock and Soil Mechanics,2020,41(6):2091-2097,2109.
[9] 刘玉成.基于Weibull时间序列函数的动态沉陷曲线模型[J].岩土力学,2013,34(8):2409-2413.
LIU Y C.Dynamic surface subsidence curve model based on weibull time function[J].Rock and Soil Mechanics,2013,34(8):2409-2413.
[10] 王小华,胡海峰,廉旭刚.基于Weibull时间序列函数与负指数法的动态沉陷预计[J].金属矿山,2015(8):158-162.
WANG X H,HU H F,LIAN X G.Dynamic subsidence prediction method based on negative exponential method and weibull time sequence function[J].Metal Mine,2015(8):158-162.
[11] 王军保,刘新荣,刘小军.开采沉陷动态预测模型[J].煤炭学报,2015,40(3):516-521.
WANG J B,LIU X R,LU X J.Dynamic prediction model for mining subsidence[J].Journal of China Coal Society,2015,40(3):516-521.
[12] 孙闯,徐乃忠,刘义新,等.基于双因素时间函数的松散地层条件下地表点动态沉降预计[J].岩土力学,2017,38(3):821-826.
SUN C,XU N Z,LIU Y X,et al.Prediction of dynamic subsidence of ground point under loose stratum based on two-factor time function[J].Rock and Soil Mechanics,2017,38(3):821-826.
[13] 张子月,邹友峰,陈俊杰,等.采煤塌陷区土地动态沉降预测模型[J].农业工程学报,2016,32(21):246-251.
ZHANG Z Y,ZOU Y F,CHEN J J,et al.Prediction model of land dynamic settlement in coal mining subsidence area[J].Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering,2016,32(21):246-251.
[14] 朱广轶,沈红霞,王立国.地表动态移动变形预测函数研究[J].岩石力学与工程学报,2011,30(9):1889-1895.
ZHU G Y,SHEN H X,WANG L G.Study on dynamic prediction function of surface movement and deformation[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2011,30(9):1889-1895.
[15] 刘文涛,贾喜荣.开采沉陷动态预计流变模型及应用[J].太原理工大学学报,2004,35(4):491-494.
LIU W T,JIA X R.Rheological model of dynamic prediction on mining subsidence and its applications[J].Journal of Taiyuan University,2004,35(4):491-494.
[16] 李德海.覆岩岩性对地表移动过程时间影响参数的影响[J].岩石力学与工程学报,2004,23(22):3780-3784.
LI D H.Influence of cover rock characteristics on time influencing parameters in process of surface movement[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2004,23(22):3780-3784.
